6.3.2二项式系数的性质课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.3.2 二项式系数的性质 复习提问 1.二项式定理的内容 (a+b)n= Cnan+Cnan-1b+…+Cnan-kbk+…+Cnbn 0 1 k n 右边多项式叫(a+b)n的二项展开式； 2.二项式系数: 3.二项展开式的通项Tk+1= 针对(a+b)n的 标准形式而言 (b+a)n，(a-b)n的通项则分别为: 4.在定理中，令a=1，b=x，则 观察猜想 展开式的二项式系数有什么变化规律？ 二项式系数最大的是哪一项？ 研究它的一般规律，我们先来观察 n为特殊值时，展开式中二项式系 数有什么特点？ 探究（一）：杨辉三角 ：(a＋b)1，(a＋b)2，(a＋b)3， (a＋b)4，(a＋b)5，(a＋b)6的展开式中的二项式系数分别是哪些组合数？并将它们的计算结果填入下表： 6 5 4 3 2 1 二项式系数 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 6 4 5 10 10 5 6 15 15 20 6 当 时，求 展开式的二项式系数，及二项式系数的和。 将上表写成以上形式，你能发现这些数据有什么规律吗？ (a＋b)1………………1 1 (a＋b)2……………1 2 1 (a＋b)3…………1 3 3 1 (a＋b)4………1 4 6 4 1 (a＋b)5……1 5 10 10 5 1 (a＋b)6… 1 6 15 20 15 6 1 （1）每行两端的数都是1；（2）与首尾两端等距离的项的系数相等；（对称性） （3）在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，等等. 定义域{0,1,2, … ,n} 6 14 20 O 6 3 r f ( r ) 令 当n= 6时,其图象是7个孤立点 归纳提高 性质1 (对称性)： 在二项展开式中，与首末两端“等距”的 两项的二项式系数相等。即 一般地， 展开式的二项式系数 有如下性质： 　　注：在杨辉三角表里，每一个数都等于它肩上两个数的和 通过上述列表分析，二项式系数的增减性与最大值分别是什么？ 二项式系数的前半部分是递增的，后半部分是递减的，且在中间取得最大值. 当n为偶数时，第 项的二项式系数 为最大； 当n为奇数时呢？ 归纳提高 性质2(增减性与最大值)： 若n为偶数 中间一项（第 项）的二项式系数取得 最大值；即最 最大 。 当r≤ 时， 单调递增； 当r≥ 时， 单调递减； 归纳提高 性质2(增减性与最大值)： 中间两项（第 、 项）的二项式系数相等，且同时取得最大值。即 若n为奇数 当r≤ 时， 单调递增； 当r≥ 时， 单调递减； 例1．证明： （1）(a + b)n 的展开式中,各二项式系数 的和为2n； （2） (a + b)n的展开式中，奇数项的二 项式系数的和等于偶数项的二项式 系数的和。 证明：（1） 在二项式定理中，令 ，则 即 的展开式的各二项式系数的和为2n. 同时由于 ，上式还可以写成： ---赋值法 证明：（2） 在二项式定理中，令 ，则 ---赋值法 性质3 (各二项式系数的和) ： 性质4 (奇数项的二项式系数和等于偶数项 的二项式系数和)： 归纳提高 6,7 1023 512 求奇数(次)项偶数(次)项系数的和 (1) (2) 求奇数(次)项偶数(次)项系数的和 所以 （3） 例题点评 求二项展开式系数和，常常得用赋值法，设 二项式中的字母为1或-1，得到一个或几个等 式，再根据结果求值 练习 求多项式的展开式中特定的项(系数) 例2. 的展开式中, 的系数等于___________ 解:仔细观察所给已知条件可直接求得 的系 数是 求复杂的代数式的展开式中某项(某项的系数),可以逐项分析求解,常常对所给代数式进行化简,可以减小计算量 例题点评 例 3:求 的展开式中 项 的系数. 解 的通项是 的通项是 的通项是 由题意知 解得 所以 的系数为: 例题点评 对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两 个通项之积比较方便运算 求展开式中系数最大(小)的项 解: 设 项是系