第02讲 勾股定理的逆定理（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年八年级数学下册重难点突破+分层训练同步精讲练（人教版）

第02讲 勾股定理的逆定理 【知识点一、互逆命题与互逆定理】 名称 定义 关系 互逆命题 如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做互逆命题 ．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题 （1）命题有真有假，而定理都是真命题； （2）每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都是逆定理； （3）互逆的两个命题不一定同真或同假，互逆的两个定理都是真命题 互逆定理 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，则称这两个定理互为逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理 【知识点二、勾股定理的逆定理】 如果三角形的三边长，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，我们称它为勾股定理的逆定理． 利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形的一般步骤： ①确定三角形的最长边； ②分别计算出最长边的平方与另两边的平方和； ③通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等； ④作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形． 注意：（1）若用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形，那么其中最长边所对的角是直角．不能机械地认为c边所对的角必是直角，例如：若a2-b2=c2，则边所对的角是直角． （2） 勾股定理的逆定理在叙述时不能说成“当斜边长的平方等于两条直角边长的平方和时，这个三角形是直角三角形”，在未判定三角形为直角三角形前，不能称最长边为“斜边”，较短的两边为“直角边”． 勾股定理与其逆定理的区别： （1）勾股定理和勾股定理的逆定理的题设和结论相反； （2）勾股定理是直角三角形的性质，而其逆定理是直角三角形的判定． 【知识点三、勾股数】 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即a2+b2=c2中，，b，c为正整数时，称， b，c为一组勾股数． 常见的勾股数有：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15．常见的勾股数需牢记，平时在解决问题时常用，有利于打开思路． 勾股数的求法： （1）如果a为一个大于1的奇数，b，c是两个连续自然数，且有a2=b+c，那么a，b，c为一组勾股数．如3为大于1的奇数，4，5为两个连续自然数，且32=4+5，则3，4，5为一组勾股数，还有：5，12，13；7，24，25；9，40，41；11，60，61；…． 题型一 判断三边能否构成直角三角形 1．一个三角形三边的比是，那么这个三角形是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【变式训练1-1】、观察下列各组数：①7，12，15，②8，15，17，③7，24，25，④12，15，20，其中能作为直角三角形三边长的有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【变式训练1-2】、满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　） A．三内角之比为 B．三边长分别为5，， C．三边长之比为 D．三边长分别为1，， 题型二 图形上与已知两点构成直角三角形的点 2．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【变式训练2-1】、在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），点B（2，-3）．在坐标轴上找一点C，使得△ABC为直角三角形，这样的点C共有（   ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【变式训练2-2】、如图，在方格中作以为一边的，要求点也在格点上，这样的能做出（      ） A．个 B．个 C． 个 D．个 题型三 在网格中判断直角三角形 3．在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得是直角三角形，则这样的格点C的个数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式训练3-1】、如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】、已知一个三角形的边长分别是5，12，13，则这个三角形的面积为（    ） A．20 B．30 C．40 D．60 题型四 利用勾股定理的逆定理求解 4．在中，，，，则的面积为（    ） A．60 B．30 C．65 D．78 【变式训练4-1】、在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，，，三点均在格点上，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】、若a，b，c是的三边，且，，，则最长边上的高是（    ） A． B． C． D． 题型五 勾股定理逆定理的实际应用 5．我国南宋著名数学家秦九韶的著