专题11复数（6知识点+5题型）-2023-2024学年高一数学阶段复习考点归纳总结突破练（人教A版2019必修第二册）

专题11：复数（6知识点+5题型） 复数 常考题型 复数的三角表示 复数方程的解 复数的乘除法 复数的加减法 复数的几何意义 题型一：复数基本概念应用 题型二：复数的几何意义及应用 题型三：复数方程的解 题型四：复数的四则运算的应用 题型五：复数的三角表示 复数的概念 知识点一：复数的概念 （1）复数的有关概念 ①定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是，虚部是. ②虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． ③表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)． ④复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示． （2）复数的分类 对于复数a＋bi， ①当且仅当b＝0时，它是实数； ②当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； ③当b≠0时，叫做虚数； ④当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：. （3）复数相等 在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)， 我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d. 知识点二：复数的几何意义 （1）复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． （2）复数的几何意义 ①任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． ②一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． （3）复数的模 ①定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值 ②记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. ③公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝ (r≥0，r∈R)． （4）共轭复数 如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数． 复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi. 知识点三：复数的加减法 （1） 复数加法法则： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数， 规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i. 即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数． （2）复数的减法 （1）减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i. 即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数． （3）复数加法与减法的几何意义 ①复数可以用向量来表示，已知复数z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)， 其对应的向量，. 如图1，且和不共线， 以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2， 根据向量的加法法则，对角线OZ所对应的向量， 而所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)， 这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对． ②复数的减法是加法的逆运算，如图2， 复数与向量等于）对应，这就是复数减法的几何意义． 知识点四：复数的乘除法 一、复数乘法 （1）复数的乘法 运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1，并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式． 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，则 z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 显然两个复数的积仍是复数． （2）复数乘法的运算律：对于任意z1、z2、z3∈C，有 ①z1·z2＝z2·z1(交换律)； ②(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)； ③z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)． （3）复数的乘方：复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．即对复数z1、z2、z和自然数m、n有zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，，z0＝1；． （4）虚数单位i的乘方 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 2、