专题06 角平分线模型-2023-2024学年七年级数学下册全等三角形基本模型探究（北师大版）

专题06 角平分线模型 目录 【模型说明】 1 【例题精讲】 2 【题型一、角平分线垂两边】 2 【题型二、角平分线垂中间】 8 【题型三、角平分线构造轴对称】 14 【题型四、角平分线加平行线等腰现】 17 【课后训练】 18 【模型说明】 在初几何证明中，常会遇到与角平分线有关的问题。不少同学遇到这类问题时，不清楚应该怎样去作辅助线。实际上这类问题是有章可循的，其策略是:明确辅助线作用，记清相应模型辅助线作法，理解作辅助线以后的目的。能做到这三点，就能在解题时得心应手。 【知识总结】 【模型】一、角平分线垂两边 角平分线+外垂直 当已知条件中出现为的角平分线、于点时，辅助线的作法大都为过点作即可.即有、≌等，利用相关结论解决问题. 【模型】二、角平分线垂中间 角平分线+内垂直 当已知条件中出现为的角平分线,于点时，辅助线的作法大都为延长交于点即可.即有是等腰三角形、是三线等，利用相关结论解决问题. 【模型】三、角平分线构造轴对称 角平分线+截线段等 当已知条件中出现为的角平分线、不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在上截取，连结即可.即有≌，利用相关结论解决问题. 【模型】四、角平分线加平行线等腰现 角平分线+平行线 当已知条件中出现为的角平分线，点角平分线上任一点时，辅助线的作法大都为过点作//或//即可.即有是等腰三角形，利用相关结论解决问题. 【例题精讲】 【题型一、角平分线垂两边】 例1．如图，四边形中，平分，于点，．求证：． 例2．在中，和的平分线交于点，连接． (1)求证：平分； (2)当为等边三角形时，求证：； (3)当不是等边三角形，且时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请加以证明，若不成立，说明理由． 变式1．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=36°，则∠CAP= ． 变式2．如图1，在中，，分别是和的角平分线，和相交于点． （1）求证：平分； （2）如图2，过作于点，连接，若，，求证：； （3）如图3，若，求证：． 【题型二、角平分线垂中间】 例．如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG． （1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由； （2）判断BEG的形状，并说明理由． 变式1．如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积．    该问题的解答过程如下： 解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点，    平分， ． ， ． 在和中，， （依据1） （依据2），， ，． …… 任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________； 任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整； 应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长．    变式2．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝CD． 【题型三、角平分线构造轴对称】 例．已知：如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，点E在CD上．用等式表示线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明． 变式1．如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 变式2．如图，在中，，，是的平分线，延长至点，，试求的度数． 【题型四、角平分线加平行线等腰现】 例.如图,//,、分别平分和.探究:在线段上是否存在点，使得. 变式.如图所示，在△ABC中，BC =6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ =CE时，EP+BP =________. 【课后训练】 1．如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 2．已知：如图，平分，，，下列结论：①；②；③， .其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 3．如图，在中，平分，点D是的中点，且，连接，，则的度数为 ．用含的式子表示）    4．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，则AD的长是 ． 5．如图中，，分别作的两个内角平分线和，、相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论有 ． 6．如图，四边形中，，为上一点，连接，，，若，则线段的长为 ． 7．已知，是的平分线．三角板的直角顶点在射线上移动， (1)在图1中，