专题05 手拉手模型-2023-2024学年七年级数学下册全等三角形基本模型探究（北师大版）

专题05 手拉手模型 目录 【模型说明】 1 【例题精讲】 2 【题型一、等边三角形手拉手模型】 2 【题型二、等腰直角三角形手拉手模型】 4 【题型三、等腰三角形手拉手模型】 6 【课后训练】 8 【模型说明】 两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等三角形，这样的图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模型。 【知识总结】 【基本模型】 一、等边三角形手拉手-出全等 图1 图2 [ 图3 图4 二、等腰直角三角形手拉手-出全等 两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有 1 △BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE； 【例题精讲】 【题型一、等边三角形手拉手模型】 例1．如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．    (1)求证：BD=CE； (2)求证：△ABM≌△ACN； (3)求证：△AMN是等边三角形． 例2．如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接． (1)求证：≌； (2)求的度数； (3)求证：平分． 变式1．如图，在等边三角形右侧作射线，点A关于射线的对称点为点D，连接交于点E，连接． （1）用含的式子表示； （2）求的度数； （3）试探究线段、、之间的数量关系，并证明． 变式2．已知：△ABC与△BDE都是等腰三角形．BA＝BC，BD＝BE（AB＞BD）且有∠ABC＝∠DBE． （1）如图1，如果A、B、D在一直线上，且∠ABC＝60°，求证：△BMN是等边三角形； （2）在第（1）问的情况下，直线AE和CD的夹角是 　 　°； （3）如图2，若A、B、D不在一直线上，但∠ABC＝60°的条件不变则直线AE和CD的夹角是 　 　°； （4）如图3，若∠ACB＝60°，直线AE和CD的夹角是 　 　°． 【题型二、等腰直角三角形手拉手模型】 例1．在与中，，，．    (1)如图1，若点D，B，C在同一直线上，连接，，则与的关系为________． (2)如果将图1中的绕点B在平面内顺时针旋转到如图2的位置，那么请你判断与的关系，并说明理由 (3)如图3，若，，连接，分别取，，的中点M，P，N，连接，，，将绕点B在平面内顺时针旋转一周，请直接写出旋转过程中的面积最大值和最小值． 例2．已知，在中，，，点D为BC的中点． （1）观察猜想 如图①，若点E、F分别是AB、AC的中点，则线段DE与DF的数量关系是______________；线段DE与DF的位置关系是______________． （2）类比探究 如图②，若点E、F分别是AB、AC上的点，且，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明：若不成立，请说明理由； （3）解决问题 如图③，若点E、F分别为AB、CA延长线的点，且，请直接写出的面积． 变式1．（1）问题发现： 如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，点、、在同一条直线上，则的度数为__________，线段、之间的数量关系__________； （2）拓展探究： 如图2，和均为等腰直角三角形，，连接，，点、、不在一条直线上，请判断线段、之间的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题： 如图3，和均为等腰三角形，，则直线和的夹角为__________．（请用含的式子表示） 变式2．（1）如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，猜想并证明：线段AE、BD的数量关系和位置关系． （2）在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由． 【题型三、等腰三角形手拉手模型】 例．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，则△ABD≌△ACE． (1)请证明图1的结论成立； (2)如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数； (3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系． 变式1．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，A