专题02 截长补短模型-2023-2024学年七年级数学下册全等三角形基本模型探究（北师大版）

专题02 截长补短模型 目录 【模型说明】 1 【例题精讲】 2 【题型一、线段之间和差关系】 2 【题型二、角平分线+截长补短】 3 【题型三、边与角的计算】 5 【课后训练】 7 【模型说明】 截长补短法在初中几何教学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一直贯穿着整个几何教学的始终.那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思,即截长和补短.截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段.当条件或结论中出现a+b=c时，用截长补短． 【知识总结】 1、补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那一条线段相等； 2、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。 3、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等有关性质加以说明，这种做法一般遇到证明三条线段之间关系时常用。 如图1，若证明线段AB,CD,EF之间存在EF=AB+CD,可以考虑截长补短法 截长法：如图2，在EF上截取EG=AB,在证明GF=CD即可； 补短法：如图3，延长AB至H点，使BH=CD,再证明AH=EF即可. 【例题精讲】 【题型一、线段之间和差关系】 例．如图1，在四边形中，，，它的两边分别交点．且． 求证： 如图2，当的两边分别交的延长线于点，其余条件均不变时，中的结论是否成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段又有怎样的数量关系？并证明你的结论． 变式1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB． （1）求∠ADB的度数； （2）线段DE，AD，DC之间有什么数量关系？请说明理由． 变式2．如图，在四边形中，，点E、F分别在直线、上，且． (1)当点E、F分别在边、上时（如图1），请说明的理由． (2)当点E、F分别在边、延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出、、之间的数量关系，并说明理由． 【题型二、角平分线+截长补短】 例．在中，，如图①，当，为的平分线时，在上截取，连接DE，易证． (1)如图②，当，为的角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想. (2)如图③，当，为的外角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明. 变式1．在四边形中，点C是边的中点． (1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； (2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 变式2．如图，在中，，平分． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，求的度数； （3）如图3，若，求证：． 【题型三、边与角的计算】 例1．如图，是等边三角形，点分别是射线、射线上的动点，点D从点A出发沿着射线移动，点E从点B出发沿着射线移动，点同时出发并且移动速度相同，连接． (1)如图①，当点D移动到线段的中点时，与的长度关系是：_______． (2)如图②，当点D在线段上移动但不是中点时，探究与之间的数量关系，并证明你的结论． (3)如图③，当点D移动到线段的延长线上，并且时，求的度数． 例2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：AC＝AE； （2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求线段BE的长． 变式1．等边中，点、分别在边、上，且，连接、交于点． （1）如图1，求的度数； 图1 （2）连接，若，求的值； （3）如图2，若点为边的中点，连接，且，则的大小是___________． 图2 变式2．如图，是边长为1的等边三角形，，，点，分别在，上，且，求的周长． 【课后训练】 1．如图，为等边三角形，若，则 （用含的式子表示）． 2．已知：如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，，，则的长为 ． 3．在中，，点D、E分别在、上，连接、和；并且有，． （1）求的度数； （2）求证：． 4．如图，已知：在中，，、是的角平分线，交于点O求证：． 5．如图，四边形中，， ，，M、N分别为AB、AD上的动点，且．求证： ． 6．在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F． （1）求证：； （2）已知． ①如图1，若，，求CE的长； ②如图2，若，求的大小． 7．(1)阅读理解： 问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考