大题培优02 数列综合大题归类（11题型+解法指导）-【大题精做】冲刺2024年高考数学大题突破+限时集训（新高考通用）

大题培优02 数列综合大题归类 目录 【题型一】“函数型”裂项求和：基础型 1 【题型二】“函数型”裂项求和：指数函数型 2 【题型三】“函数型”裂项求和：等差裂和型 3 【题型四】“函数型”裂项求和：指数型裂和 3 【题型五】“函数型”裂项求和：同构仿写型 4 【题型六】“函数型”裂项求和：三角函数裂项型 5 【题型七】递推公式：分式型不动点 5 【题型八】插入数型 6 【题型九】数列跳项型 7 【题型十】证明数列不等式 7 【题型十一】新结构第19题型：差分密码型 8 【题型一】“函数型”裂项求和：基础型 基础原理：，如：； 基本题型：①；②； 注意（避免掉坑） ①分母分解因式：； ②系数不相同就提系数：； ③求和化简时，要写到“前三后二”，并且一定要强调每项加括号，这样容易观察剩余的时首尾项（或正负项）对应. (1)； （2）； （3）； （4）； 分式型分子裂差法 形如型，如果，则可以分子裂差： 1.（22·23·龙岩·二模）已知等差数列的首项为1，公差，前项和为，且为常数． (1)求数列的通项公式； (2)令，证明：． 2.（22·23·秦皇岛·模拟预测）设等比数列的前项和为，数列为等差数列，且公差，. (1)求数列的通项公式以及前项和； (2)数列的前项和为，求证：. 3.（2024下·福建·高三校联考开学考试）已知正项数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和，求满足的正整数n的集合． 【题型二】“函数型”裂项求和：指数函数型 指数裂项法 形如型，如果，则可以分子裂差： 1.（2023·广西玉林·校联考模拟预测）记为数列的前项和，已知，． (1)证明：当时，数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． 2.（2023上·海南海口·高三校考阶段练习）在数列和中，，且是和的等差中项. (1)设，求证：数列为等比数列； (2)若的前n项和为，求证：. 3.（2023上·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习）已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和． 【题型三】“函数型”裂项求和：等差裂和型 正负型：等差裂和型 形如型，如果，则可以分子裂差： 1.（2023·河北唐山·三模）设为数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 2.（2023·江苏镇江·二模）已知数列满足：. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 3.（2023·湖南永州·三模）记正项数列的前项积为，且. (1)证明：数列是等差数列； (2)记，求数列的前项和. 【题型四】“函数型”裂项求和：指数型裂和 正负型：指数裂和型 形如型，如果，则可以分子裂和： 1.（23·24上·湖北·期中）已知为等比数列，且，成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)当为递增数列时，，数列的前项和为，若存在，求的取值范围. 2.（23·24上·黔东南·阶段练习）已知数列满足：，. (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)令，求的前n项和. 3.（22·23高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若存在，使，求的取值范围. 【题型五】“函数型”裂项求和：同构仿写型 仿写规律： ① （可通分反解）； ②（可通分反解） 1.（23·24上·甘南·期中）在数列中，且. (1)求的通项公式； (2)设，若的前项和为，证明：. 2.（23·24上·合肥·阶段练习）在数和之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，令. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 3.（23·24上·昆明·阶段练习）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 【题型六】“函数型”裂项求和：三角函数裂项型 常见的三角函数裂项： 1.正切型裂项：若 （特殊角），则， ； 2.正余弦和与差公式应用裂项型： 1.（2023·山东威海·二模）已知2n＋2个数排列构成以为公比的等比数列，其中第1个数为1，第2n＋2个数为8，设． (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前100项和． 2.（22·23高三上·山东济宁·期中）已知，抛物线与x轴正半轴相交于点A，在点A处的切线在y轴上的截距为 (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 3.（22·23上·芜湖·期末）已知是数列的前项和，．且 (1)求的通项公式； (2)设，已知数列满足，求的前项的和 【题型七】递推公式：分式型不动点 已知分式一次型数列递推关系求通项的问题解法： 法一，化归法.当时，递推关系两边取倒数，再裂项构造即可；当时，为了保持