导数专题研究五 利用导数证明不等式重难点题型归纳讲义-2024届高三数学一轮复习

专题五、利用导数证明不等式 Ⅰ、必备秘籍 一、不等式的证明 证明不等式的过程中常使用构造法，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有： (1)直接构造法：证明不等式 转化为证明，进而构造辅助函数； (2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如①对数形式：，当且仅当时，等号成立. ②指数形式：，当且仅当时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：. (3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数； (4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．在证明过程中，等价转化是关键，此处恒成立．从而，但此处与取到最值的条件不是同一个“x的值”．　 【常用结论】 1.破解含双参不等式证明题的3个关键点 （1）转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式. （2）巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值. （3）回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果. 总结：双变量相关问题，解题策略是减少变量，方式为一个变量用另一个变量表示，或将两变量的整体换元，如下列形式等常见形式 2.常见不等式（大题使用需要证明） ①，，， ②，；； ③；； ④； ⑤； ⑥；；， Ⅱ、典型题型 题型一、移项构造函数证明不等式 把证明 转化为证明 此类问题是证明不等式中最基本的一类问题,把两个函数通过作差转化为一个函数,再利用导数研究该函数的性质,通过函数性质证明该不等式. 例1．（2024·浙江·高三专题练习）证明以下不等式： (1)； (2)； (3)； (4) 【解析】（1）令，则有. 令，即，解得； 令，即，解得， 所以在单调递减，上单调递增， 所以，即. 所以. （2）令，则. 令，即，解得； 令，即，解得， 所以在单调递增，上单调递减， 所以，即， 所以. （3）由（1）得，所以（当且仅当时取等号）①. 由（2）得，所以（当且仅当时取等号）② 因为①式与②式取等号的条件不同，所以. 针对训练1．已知函数． (1)求的最小值； (2)设，证明： 【详解】（1）因为，，则， 令，得；令，得； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. （2）因为，， 所以由，得，即， 令，，则， 令，得；令，得； 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，即恒成立， 所以. 例2．（2023·北京·高二北京二十中校考期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：. 【解析】（1）,， ,所以切点为，由点斜式可得，， 所以切线方程为：. （2）由题可得， 设， ， 所以当时，， 当时，， 所以在单调递增，单调递减， 所以， 即. 针对训练2．已知函数，，证明：． 【解析】证明：要证，，即证． 设，，则，在区间上单调递减，则，即． 设，，则，在区间上单调递增，则，即． 综上，当时，，即． 例3.已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，求证：. 已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，证明：对任意的，． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）利用导数求单调区间；（2）将不等式等价转化为，利用导数讨论最值即可求解. 【详解】（1）由题可知函数的定义域为 ， ，即， (i)若，则在定义域上恒成立， 此时函数在上单调递增； (ii) 若，令，即，解得,令，即，解得, 所以在上单调递减，上单调递增.综上，时，在上单调递增； 时，在上单调递减，上单调递增. （2）当时，， 要证明，只用证明，令，， 令，即，可得方程有唯一解设为，且，所以， 当变化时，与的变化情况如下， 单调递减 单调递增 所以，因为，因为，所以不取等号， 即，即恒成立，所以，恒成立，得证. 思考题3.（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知函数,. (1)判断的单调性; (2)若, 求证:,其中e是自然对数的底数. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增．(2)证明见详解 【分析】（1）求导，由导数的正负即可求解函数的单调性， （2）构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解最值，进而可证明. 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，，当，； 故在上单调递减，在上单调递增． （2）证明：令，则， 令，则，显然在上单调递增． 又，，故存在唯一的，使得． 从而在上单调递减，在上单调递增， ，               又，两边取对数得，故， ， 故在上单调递增，所以，得证． （2