专题11.1余弦定理（六个重难点突破）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019必修第二册）

专题11.1余弦定理 知识点 余弦定理 1.余弦定理的语言 （1）文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. （2）符号语言:在中,， 2.余弦定理的推论 在中,. 3.解三角形 一般地,三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 重难点1已知两边与一角解三角形 【例1】已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，，，则b＝（　　） A．4 B．3 C．2或4 D．2或3 【例2】在钝角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，，则边长的取值范围是 【变式1-1】在中，，，M为BC的中点，，则 . 【变式1-2】已知在中，，，，则 ． 【变式1-3】已知为的三个内角，其所对的边分别为，且. (1)求A的大小； (2)若，求c的值． （1）若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解． （2）若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角． 重难点2已知三边解三角形 【例3】在中，角、、对的边分别为、、．若，，，则角等于（ ） A． B． C． D． 【例4】在中，，则的最大角与最小角的和是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知三条边上的高分别为3，4，6，则最小内角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知在中，内角，，所对的边分别是，若，且，则的面积为（　　） A．5 B．6 C．10 D．12 【变式2-3】在中，，D是AB边上一点，，则 ． （1）利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角． （2）若已知三角形的三边的比例关系，常根据比例的性质引入，从而转化为已知三边求解． 重难点3已知一边一角及两边关系解三角形 【例5】已知的内角的对边分别为，若，则 ． 【例6】在中，已知，，，求. 【变式3-1】的内角A，B，C的对边分别为，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】设的内角所对的边分别为，且，．求的值； 【变式3-3】在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. (1)求角A的大小; (2)若 ，求b和c的值. 重难点4求三角形的周长 【例7】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则△ABC的周长为 . 【例8】（多选）在中，，，，则下列结论错误的是（    ） A．边上的中线长为2 B．为锐角三角形 C． D．的周长为12 【变式4-1】在中，角A，，所对的分别为，，．若角A为锐角，，，则的周长可能为 ．（写出一个符合题意的答案即可） 【变式4-2】如图所示，点A是等边外一点，且，，，则的周长为 ．    【变式4-3】在中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量，且满足. (1)求A的大小； (2)若，，求的周长. 对余弦定理进行变形， 重难点5利用余弦定理判断三角形的形状 【例9】在中，若，则的形状一定是（　　） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【例10】在中，内角的对边分别为.若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【变式5-1】在中，若，，则的形状是（　　） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【变式5-2】在中内角所对边分别是若，则的形状一定是 ． 【变式5-3】在中，内角所对的边分别为，，，已知已知. (1)求角的大小； (2)若，，求的值； (3)若，判断的形状． （1）化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件进行判断． （2）化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，再通过三角变换得出关系进行判断． 重难点6边角互化的其他应用 【例11】在锐角中，若，则角 ． 【例12】在中，已知，则角A等于（    ） A．150° B．120° C．60° D．30° 【变式6-1】在中，已知，则 . 【变式6-2】（多选）分别为内角的对边．已知，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】若钝角的内角，，满足，且最大边长与最小边长的比值为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．在△ABC中，若，则最大角的余弦值是（   ） A． B． C．0 D． 2．《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历