2024年贵州省中考数学二轮复习 中考题型研究 类型六 相似三角形的存在性 课件

类型六　相似三角形的存在性 函数微技能——分类讨论思想确定动点位置 一阶 例12　如图，已知抛物线交x轴于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，连接BC. 探究1：P是坐标轴上一点，找出点P，使得以 B、C、P为顶点的三角形与△OBC相似； 例12题图① 例12题图① 解：①若△CBP∽△OBC时，在图①中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹). ①解：满足条件的点P如解图①所示； 例12题解图① 【方法总结】二次函数中相似三角形的存在性一般要分情况讨论：以探究1为例，已知∠COB＝90°，故需分∠PCB＝90°和______________两种情况．解决此类问题通常利用相似三角形的性质，列出线段比例关系，求解即可． ∠PBC＝90° ②若△BPC∽△OBC时，在图②中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹)． 例12题图② ②解：满足条件的点P如解图②所示； 例12题解图② 探究2: 若D为对称轴与x轴的交点，P是对称轴上的点，找出点P，使得以O、D、P为顶点的三角形与△OBC相似．在图③中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹). 例12题图③ 满足条件的点P如解图③所示． 例12题解图③ 设问突破 二阶 例13 抛物线y＝－ x2＋2x＋6交x轴于点A，B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C. 一题多设问 (1)如图①，点M是y轴正半轴上一点，连接AM，若△AOM与△AOC相似，求点M的坐标； 例13题图① 【思维教练】要求点M的坐标，已知∠AOM＝∠AOC＝90°，则当∠OAM＝∠OCA时，根据对应边成比例即可求解； (1)解：∵抛物线的解析式为y＝－ x2＋2x＋6， 令y＝0，－ x2＋2x＋6＝0，解得x＝－2或x＝6， 令x＝0，解得y＝6， ∴A(－2，0)，B(6，0)，C(0，6)， ∴OA＝2，OC＝6， 如解图①，∵∠AOM＝∠COA＝90°， ∴∠OAM＝∠OCA时，△AOM∽△COA， ∴ ，∴ ， ∴OM＝ ，∴点M的坐标为(0， )； 例13题解图① 【思维教练】要求点E的坐标，由题意可分以下两种情况：①∠ACE＝∠ABC；②∠ACE＝∠ACB，由点坐标求得线段长，根据对应情况相似比列等量关系式求解即可； (2)如图②，点E是线段AB上一点(不与点A、B重合)，若△ACE和△ABC相似，求点E的坐标； 例13题图② (2)解：由(1)得点A(－2，0)，B(6，0)，C(0，6)， ∴AB＝8， ∴在Rt△AOC中，根据勾股定理可得 AC＝ ， 分以下两种情况： ①当∠ACE＝∠ABC时，△ACE∽△ABC， ∴ ，∴ ， ∴AE＝5， ∵点E是线段AB上一点(不与点A、B重合)， ∴点E的坐标为(3，0)； ②当∠ACE＝∠ACB时，此时点E与点B重合，此情况不存在点E， 综上所述，点E的坐标为(3，0)； 【思维教练】要求点P的坐标，由题易知∠CBE＝∠CDP＝45°，则可分两种情况讨论：①∠BCE＝∠DCP；②∠BCE＝∠DPC，分别求解即可． (3)如图③，设抛物线对称轴交抛物线于点D，与x轴交于点E，点P是抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使得以点D、C、P为顶点的三角形和△BEC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 例13题图③ (3)解：存在． 设P(2，m)，当x＝2时，y＝8，∴D(2，8)， 易知∠CDE＝45°，∠CBE＝45°， 要使以D、C、P为顶点的三角形与△BEC相似，则△DCP中需有一个角为45°， ∴点P在点D下方，∠CDP＝∠CBE＝45°， ∴DP＝8－m， ∵∠CDP＝45°，CD＝ ， ∵C(0，6)，B(6，0)， ∴BC＝ ，BE＝6－2＝4， 分两种情况讨论： ①当△BEC∽△DCP时，如解图②， 此时点P在P1处， 例13题解图② ②当△BEC∽△DPC时，如解图②，此时点P在P2处， ，即 ， 解得m＝ ，∴P2(2， )． 综上所述，点P的坐标为(2，2)或(2， )． 即