导数专题研究二不等式恒成立或能成立重难点题型归纳讲义-2024届高三数学一轮复习

专题二、不等式恒成立或能成立问题 Ⅰ、必备秘籍 一、解题策略 1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 2、分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路 用分离参数法解含参不等式恒成立（能成立）问题，是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题． 一般地，若对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． 3、直接讨论法 直接讨论法是指恒成立（能成立）问题中的函数结构并不是很复杂，可以通过直接求导得到极值点，再对极值点直接讨论，从而求得参数的取值情况．其常用的手段是因式分解、求根公式以及观察法；若无法求得极值时，常可利用零点存在性定理，确定零点的范围后再进行讨论，研究函数的单调性等． 二、单变量不等式恒成立问题 一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： 1、， 2、， 3、， 4、， 三、双变量不等式与等式 一般地，已知函数， 1、不等关系 （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有成立，故． 2、相等关系 记的值域为A, 的值域为B, （1）若，，有成立，则有； （2）若，，有成立，则有； （3）若，，有成立，故； 四、洛必达法则 法则1若函数和满足下列条件： （1）及； （2）在点的去心邻域内，与可导且； （3）， 那么=． 法则2若函数和满足下列条件：（1）及； （2），和在与上可导，且； （3）， 那么=． 法则3若函数和满足下列条件： （1）及； （2）在点的去心邻域内，与可导且； （3）， 那么=． 注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： （1）将上面公式中的，，，洛必达法则也成立． （2）洛必达法则可处理，，，，，，型． （3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限． （4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止． ，如满足条件，可继续使用洛必达法则． Ⅱ、典型题型 题型一、单变量的恒成立问题 方向1.变量分离法解决恒成立问题 恒成立问题的转化：恒成立； 例1．（1）已知函数，若存在，使，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． （2）已知函数，，若，且对任意恒成立，则的最大值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 （3）已知函数． ①当时，求函数的单调区间和极值； ②若对于任意，都有成立，求实数的取值范围； （4）已知函数． ①当时，求的极值； ②若不等式恒成立，求实数的取值范围． （5）已知． ①求在处的切线方程以及的单调性； ②对，有恒成立，求的最大整数解． （6）已知函数，其中，. ①求的单调区间； ②设当时，若对任意，不等式恒成立，求整数的最小值. 针对训练1. （1）若关于的不等式恒成立，则的最小值是 . （2）已知函数，其中． ①若函数在处取得极值，求实数a； ②若函数在上恒成立，求实数a的取值范围． （3）已知函数． ①若在处取得极大值27，求函数的极小值； ②若，，且对，不等式都成立，求实数的值范围． （4）已知函数，（为自然对数的底数）． ①讨论函数的单调性； ②当时，恒成立，求实数的取值范围． （5）已知函数． ①讨论的单调性； ②若，求实数的取值范围． （6）已知函数，． ①求函数的单调区间及极值； ②若恒成立，求实数的取值范围． （7）已知函数． ①求的单调区间； ②若对于任意的恒成立，求实数的最小值． （8）已知函数. ①讨论函数的单调性； ②当时，恒成立，求整数的最大值. 方向2.分类讨论法解恒成立问题 例2．（1）已知函数． ①若函数在时取得极值，求实数的值； ②若对任意恒成立，求实数的取值范围． （2）已知函数. ①当时，求的最小值； ②若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围． 针对训练2. （1）已知函数在处有极值． ①求的解析式； ②若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． （2）设函数且． ①求函数的单调性； ②若恒成立，求实数的取值范围． （3）已知函数，曲线在点处的切线