数列求和训练题-2024届高三数学二轮复习

数列求和 一、裂项相消 1．（2022·湖北省直辖县级单位·湖北省天门中学校考模拟预测）已知数列满足，，． (1)设，，求证：数列为等差数列； (2)求证：，． 2．（2022·湖北省直辖县级单位·湖北省仙桃中学校考模拟预测）已知数列为等比数列，且 (1)求的通项公式； (2)若 ，的前项和为 ，求满足的最小正整数 3．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知正项数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 4．（2023春·山西晋城·高三校考阶段练习）已知数列的前项的积记为，且满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和. 5．（2022·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知数列满足，，. (1)求的通项公式. (2)证明. 6．（2022·山东泰安·统考模拟预测）已知数列的前项和为，若，且. (1)求的通项公式; (2)设，，数列的前项和为，求证. 7．（2022·湖南岳阳·岳阳一中校考一模）已知数列是公比的等比数列，，且，，成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，记，若，证明：. 二、错位相减(共0分) 8．（2023秋·河南洛阳·高二统考期末）已知等比数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 9．（2022·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）已知数列的前n项和为，，且. （1）求数列的通项； （2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 三、分组求和(共0分) 10．（2023·山东潍坊·统考一模）已知数列为等比数列，其前项和为，且满足. (1)求的值及数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 11．（2022·山东临沂·统考三模）已知数列的前n项和分别是，若 (1)求的通项公式； (2)定义，记，求数列的前n项和． 12．（2022·山东泰安·统考模拟预测）已知数列为公差不为零的等差数列，其前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)令，其中表示不超过的最大整数，求的值． 13．（2023秋·湖北·高二江夏一中校联考期末）已知数列满足，． (1)记，求证：数列为等比数列； (2)求数列的前20项和． 14．（2022·湖南长沙·长沙一中校考一模）已知数列的前n项和为，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)在和中插入k个数构成一个新数列：，，，，，，，，，，…，其中插入的所有数依次构成数列，通项公式．求数列的前30项和． 15．（2022·湖北十堰·统考三模）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)在和之间插入n个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前n项和. 16．（2022·广东茂名·统考模拟预测）已知数列的前n项和为，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前100项的和. 四、奇偶并项(共0分) 17．（2022·湖北襄阳·襄阳五中校考模拟预测）已知是公差为的等差数列，， (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前10项和 18．（2023秋·山东菏泽·高二统考期末）已知等差数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 19．（2023春·云南·高三校联考开学考试）已知数列的前项和为，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 参考答案： 1．(1)证明见解析； (2)证明见解析 【分析】（1）由整理得，进而得，由等差数列定义得证； （2）先求出，进而得到，，按照裂项相消求和求出即可得证. 【详解】（1）由得， ，即，又，故数列是以4为首项，2为公差的等差数列； （2）由（1）知：，化简得，故，. 2．(1) (2)5 【分析】（1）列方程组求得等比数列首项、公比，进而求得其通项公式； （2）先化简的通项公式，利用裂项相消法求得的前项和为，再解，即可求得满足不等式的最小正整数. （1）设等比数列首项为，公比为q，则，解之得，则等比数列的通项公式 （2）由，可得则的前项和由，可得令，则由，可得由，可得则有在单调递减，在单调递增又， ，则，即由不等式，可得则满足的最小正整数为5 3．(1) (2) 【分析】(1)利用和与项的公式，即可求的通项公式； (2)先求得，再裂项求和即可. 【详解】（1）当时，，得． 由，有，① 当时，，② 由①-②得， 即，化简得． 因为，所以， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列，故 （2）由（1）知，． ， 所以． 4．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将条件中的变为，然后整理即可证明； （2）求出数列的通项公式，然后利用裂项相消法求和. 【详解】（1）当时，， ，即， 又当时，，得， 数列是以3为首项，2为公差的等差数列； （2）由（1）得，