1.4.2第2课时用空间向量研究线线角、线面角同步练习-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第2课时　 用空间向量研究线线角、线面角 必备知识基础练 1．已知两条异面直线的方向向量分别是m＝(－2，1，2)，n＝(3，－2，1)，则这两条异面直线所成的角θ满足(　　) A.sin θ＝－ B．sin θ＝ C.cos θ＝ D．cos θ＝－ 2．[2023·浙江杭州高二检测]在直三棱柱ABC ­ A′B′C′中，侧棱长为4，底面是边长为4的正三角形，则异面直线AB′与BC′所成角的余弦值为(　　) A.　　　B． C．　　　D． 3．在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，BD与平面A1C1D所成角的正弦值是(　　) A. B． C. D．1 4．已知在四棱锥P ­ ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为4的正方形，PA＝6，E为棱PD的中点，则直线EC与平面PAB所成角的正弦值为(　　) A. B． C. D． 5．(多选)如图，E，F分别是正方体ABCD ­ A1B1C1D1中棱CD上的两点，且AB＝2，EF＝1，则下列命题中不正确的为(　　) A.异面直线B1D1与EF所成的角的大小为45° B.异面直线B1D1与EF所成的角的大小为30° C.直线B1D1与平面B1EF所成的角的大小为45° D.直线B1D1与平面B1EF所成的角的大小为60° 6．[2023·福建福州高二测试]若平面α的法向量n＝(－1，0，1)，直线l的方向向量为d＝(0，1，1)，则l与α所成角的大小为________． 7．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，－2，0)，B(2，1，)，则直线AB与平面xOz所成的角的正弦值为________． 8．[2023·天津蓟州高二检测]在直三棱柱ABC ­ A1B1C1中，∠BCA＝90°，D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝AC＝CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值为________． 关键能力综合练 1．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为(　　) A.　　　B． C．－　　　D．－ 2.如图，在四面体OABC中，OA，OB，OC两两垂直，已知OA＝OB＝2，OC＝1，则直线OC与平面ABC所成角的正弦值为(　　) A. B． C. D． 3．[2023·湖北广水高二检测]在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的曲池，它的高为4，AA1，BB1，CC1，DD1均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为90°，则图中异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为(　　) A.　　 　B． C．　　 　D． 4．[2023·福建龙岩高二检测](多选)如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠DBC＝120°，则(　　) A.直线AD与直线BC所成角的大小为90° B.直线AC与直线BD所成角的余弦值为 C.直线AD与平面BCD所成角的大小为45° D.直线CD与平面ABC所成角的大小为60° 5.[2023·辽宁抚顺高二检测]在直三棱柱ABC ­ A1B1C1中，CA＝4，CB＝4，∠BCA＝90°，M是A1B1的中点，以C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系C ­ xyz，若⊥，则异面直线CM与A1B夹角的余弦值为________． 6．[2023·广东深圳高二测试]如图，已知AB，CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且AB⊥CD，若该圆柱的底面圆直径是其母线长的2倍，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为________． 7．如图，在棱长为2的正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，E为BB1的中点． (1)求异面直线AE与BC1所成的角的余弦值； (2)求直线AB与平面AD1E所成的角的正弦值． 8．已知正三棱柱ABC ­ A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，O，O1分别是棱AC，A1C1的中点．建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求三棱柱的侧棱长； (2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值． 9．[2023·辽宁凤城一中高二检测]如图，在四棱柱ABCD ­ A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD满足AD∥BC，且AB＝AD＝AA1＝2，BD＝DC＝2. (1)求证：BD∥平面B1CD1； (2)求直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值． 核心素养升级练 1．在如图所示的四棱锥P ­ ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝，AB＝