2024年中考数学（华东师大版）二轮复习专题特训课件 线段垂直平分线与角平分线的应用

专题特训　线段垂直平分线与角平分线的应用 类型一　根据线段垂直平分线的性质求线段的长 1. 如图,在△ABC中,DE是AB的垂直平分线,△ABC的周长为24cm,△BCD的周长为16cm,则 BE的长为 (　　) A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm B [解析]∵ △ABC的周长为24cm,∴ AB+BC+AC=24cm.∵ DE是AB的垂直平分线,∴ DA =DB,BE=AB.∵ △BCD的周长为16cm,∴ BC+CD+DB=16cm.∴ BC+CD+DA=BC+AC=16cm. ∴ AB=24-16=8(cm).∴ BE=4cm. 2. 如图,在△ABC中,AB=AE,且AD⊥BC于点D,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E.若 △ABC的周长为16,AC=6,则DC的长为　　　　.  5 [解析]∵ △ABC的周长为16,∴ AB+BC+AC=16.∵ AC=6,∴ AB+BC=10.∵ EF垂直平分AC,∴ AE=CE.∵ AB=AE,AD⊥BC,∴ AB=CE,BD=DE.∴ AB+BD=CE+DE=(AB+BC)=5. ∴ DC=CE+DE=5. 3. 如图,AB比AC长2cm,BC的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,△ACD的周长是14cm,分 别求AB和AC的长. ∵ △ACD的周长是14cm,∴ AD+DC+AC=14cm. ∵ DE是BC的垂直平分线, ∴ DB=DC. ∴ AD+DC=AD+DB=AB. ∴ AB+AC=14cm. 又∵ AB比AC长2cm, ∴ AB-AC=2cm. ∴ AB=8cm,AC=6cm. 类型二　根据线段垂直平分线的性质求角的度数 4. 已知MN是线段AB的垂直平分线,P、Q是直线MN上两点,且∠PAB=35°,∠QBA=60°,则 ∠QAP的度数为　　 　　.  25°或95° [解析]∵ MN是线段AB的垂直平分线,∴ QA=QB.∴ ∠QAB=∠QBA=60°.如图①,当点P、Q在AB的同侧时,∠QAP=∠QAB-∠PAB=60°-35°=25°;如图②,当点P、Q在AB的异侧时,∠QAP=∠QAB+∠PAB=60°+35°=95°.综上所述,∠QAP的度数为25°或95°. 5. 如图,OE、OF分别是AC、BD的垂直平分线,垂足分别为E、F,且AB=CD,∠ABD=120°, ∠CDB=38°,求∠OBD的度数. 如图,连结OA、OC. ∵ OE、OF分别是AC、BD的垂直平分线, ∴ OA=OC,OB=OD. ∴ ∠OBD=∠ODB. 在△ABO和△CDO中, ∴ △ABO≌△CDO.∴ ∠ABO=∠CDO. 设∠OBD=∠ODB=α,∠ABO=∠CDO=β. ∵ ∠ABD=120°,∠CDB=38°, ∴ α+β=120°,β-α=38°. ∴ α=41°,即∠OBD=41°. 类型三　根据角平分线的性质求距离或线段的长 6. 如图,两条笔直的公路l1、l2相交于点A,村庄C的村民要在公路的旁边建三个加工厂 A、B、D.已知AB=BC=CD=DA=5km,村庄C到公路l1的距离为4km,则村庄C到公路l2的距离为 (　　) A. 3km B. 4km C. 5km D. 6km B [解析]如图,连结AC,过点C作CE⊥l2于点E,CF⊥l1于点F.∵ 村庄C到公路l1的距离为4km,∴ CF=4km.在△CAD和△CAB中,∴ △CAD≌△CAB.∴ ∠CAD= ∠CAB,即AC平分∠BAD.∴ CE=CF=4km,即村庄C到公路l2的距离为4km. 7. 如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,AB=9,AC=6,BC=10,则CD的长为　　　　.  4 [解析]如图,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.∵ AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, ∴ DE=DF.∴ ===.∴ 易得=.∵ BC=10,∴ 易得CD=BC=4. 类型四　根据角平分线的性质判断两角之间的数量关系 8. 如图,C是∠MAN的平分线上一点,CE⊥AB于 点E,点B、D分别在AM、AN上,且AE=(AD +AB).试探究∠1和∠2之间的关系,并说明理由. ∠1+∠2=180°. 理由:如图,过点C作CF⊥AN于点F. ∵ AC平分∠MAN, ∴ ∠3=∠4. 又∵ CE⊥AM,CF⊥AN, ∴ CF=CE,∠CFA=∠CEA=90°. 在Rt△ACF和Rt△ACE中, ∴ Rt△ACF≌Rt△ACE. ∴ AF=AE. ∵ AE=(AD+AB)=(AF-DF+AE+BE)=AE+(BE-DF), ∴ BE=DF. 在△BEC和△DFC中, ∴ △BEC≌△DFC. ∴ ∠2=∠5. ∵ ∠1+∠5=180°, ∴ ∠1+