2024年中考数学二轮复习高频考点突破：勾股定理 课件

第14章 勾股定理 考点一 利用勾股定理求线段长 典例1 (2022 鄂尔多斯)如图①,AB⊥BC于点B,AB⊥AD于点A,E是CD中点.若BC=5,AD= 10,BE=,则AB的长是 . 思路导引 延长BE交AD于点F,由“A.S.A.”可证 BCE≌ FDE,可得BC=FD=5,BE=FE=,由勾股定理可求AB的长. 规范解答 如图②,延长BE交AD于点F.∵ E是DC的中点,∴ CE=DE.∵ AB⊥BC,AB⊥AD, ∴ AD∥BC.∴ ∠C=∠D.又∵ ∠BEC=∠FED,∴ BCE≌ FDE.∴ BC=FD=5,BE=FE=. ∴ BF=2BE=13,AF=AD-FD=5.在Rt ABF中,由勾股定理,得AB===12.故填12. 1. 如图,在 ABC中,AB=AC,过点C作CD⊥AB于点D.已知CD=5,BD=2,则AB的长是 . [解析]设AB=AC=x,则AD=AB-BD=x-2.∵ CD⊥AB,∴ ∠ADC=90 .在Rt ACD中,由勾股定理,得CD2+AD2=AC2,即52+(x-2)2=x2,解得x=,即AB的长是. 典例2 (2022 徐州)如图,将长方形纸片ABCD沿CE折叠,使点B落在边AD上的点F处.若点E在边AB上,AB=3,BC=5,则AE= . 思路导引 由长方形的性质可得CD=AB=3,BC=AD=5,由折叠的性质可得FC=BC=5,EF=BE.在Rt CDF中,由勾股定理可求得DF的长,进而得出AF的长,最后在Rt AEF中,根据勾股定理建立方程求解即可. 规范解答 ∵ 四边形ABCD是长方形,∴ ∠A=∠D=90 ,CD=AB=3,AD=BC=5.由折叠的性质,可知FC=BC=5,EF=BE.在Rt CDF中,由勾股定理,得DF==4,∴ AF=AD-DF=1.设AE=x,则BE=EF=3-x.在Rt AEF中,由勾股定理,得EF2=AE2+AF2,即(3-x)2=x2+12,解得x=,即AE=.故填. 2. 如图,在三角形纸片ABC中,∠C=90 ,AC=18,将纸片折叠,使点A与点B重合,折痕为DE. 若BC=12,则BE= . 13 考点二 勾股定理的逆定理 典例3 已知M、N是线段AB上的两点,AM=MN=2,NB=1,以点A为圆心、AN长为半径画弧,再以点B为圆心、BM长为半径画弧,两弧交于点C,连结AC、BC,则 ABC一定是 ( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 思路导引 先根据题意画出示意图,依据作图即可得到AC=AN=4,BC=BM=3,AB=2+2+1=5,则 ABC的三边长可知,根据勾股定理的逆定理判断即可. 规范解答 根据题意作出图形如图所示,由题意,得AC=AN=4,BC=BM=3,AB=2+2+1=5.∵ AC2+BC2=42+32=25,AB2=52=25,∴ AC2+BC2=AB2.∴ ABC是直角三角形.故选B. 3. 如图,∠BAC=90 ,BC=,AB=1,AD=CD=1,则∠BAD= . 45 [解析]∵ ∠BAC=90 ,BC=,AB=1,∴ AC==.∴ AC2=2.∵ AD=CD=1, ∴ AD2+CD2=12+12=2.∴ AD2+CD2=AC2.∴ ACD是等腰直角三角形,且∠D=90 .∴ ∠DAC=45 .∴ ∠BAD=90 -45 =45 . (第3题) 考点三 反证法 典例4 用反证法证明命题“一个五边形不可能有4个内角为锐角”的第一步:假设 . 思路导引 用反证法证明的第一步是假设结论不成立. 规范解答 命题“一个五边形不可能有4个内角为锐角”的结论是“不可能有4个内角为锐角”,其反面是“有4个内角为锐角”,故填一个五边形有4个内角为锐角. 4. 用反证法证明命题“若a、b是整数,且ab能被5整除,则a、b中至少有一个能被5整除” 时,应假设 . a、b都不能被5整除 [解析]由于反证法是命题的否定的一个应用,故用反证法证明命题时,可以设其结论的否定成立进行推证.命题“若a、b是整数,且ab能被5整除,则a、b中至少有一个能被5整除”的结论的否定是“a、b都不能被5整除”. 考点四 勾股定理及其逆定理的应用 典例5 (2021 宿迁)《九章算术》中有一道“引葭赴岸”的问题:“今有池一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深,葭长各几何?”题意如下:有一个边长为10尺(1丈=10尺)的正方形池塘,一棵芦苇AC生长在它的中央,高出水面的部分BC为1尺,若把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边,则芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C'处(如图①),问水深和芦苇的长各是多少尺?该问题中的水深是 尺. 思路导引 我们可将文字转化为几何图形,如图②,根据题意,可知C'E的长为10尺,则C