2024年贵州中考数学二轮复习贵州中考题型研究 类型四 直角三角形问题（含矩形问题）（课件）

类型四　直角三角形问题(含矩形问题) 函数微技能——分类讨论思想确定动点位置 一阶 例8　如图，已知抛物线交x轴于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，连接AC. 探究1：在抛物线对称轴上找一点P，使得△ACP为直角三角形； 例8题图① 解：①若AC为Rt△ACP的直角边时，在图①中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹); ①满足条件的点P如解图①所示，即P1，P2； 例8题图① 例8题解图① 【方法总结】二次函数中直角三角形的存在性一般要分情况讨论；以探究1为例，若AC为Rt△ACP的直角边， 作图方法：___________________________________________________， 所找点P为____________________________； 若AC为Rt△ACP的斜边， 作图方法：_____________________， 所找点P为_____________________________． 分别过点A、C作AC的垂线，垂线与抛物线对称轴的交点 以AC的中点D为圆心 AC长为直径作圆 对称轴与⊙D的交点 ②若AC为Rt△ACP的斜边，在图②中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹)； 例8题图② ②满足条件的点P如解图②所示，即P3，P4； 例8题解图② 探究2：在抛物线上找一点E，使得△BCE为直角三角形．在图③中画出所有满足条件的点E的示意图(保留作图痕迹)； 　例8题图③ 满足条件的点E如解图③所示即E1,E2； 例8题解图③ 探究3: 在抛物线上找一点E，平面内找一点Q，使得以E、Q、B、C为顶点的四边形为矩形．在图④中画出所有满足条件的点E、Q的示意图(保留作图痕迹)． 例8题图④ 满足条件的点E、Q如解图④所示，即E3、E4、Q1、Q2. 例8题解图④ 【方法总结】二次函数中矩形的存在性问题可考虑将其转化为直角三角形的问题，如探究3中，只需先画出△BCE为直角三角形的点E，再确定Rt△BCE斜边的中点，然后利用矩形对角线互相平分的性质确定点Q的位置． 设问突破 二阶 例9 抛物线y＝ x2－x－4与x轴交于点A、B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C. 一题多设问 (1)若点F是x轴上的一点，点D为抛物线的顶点，是否存在点F，使得△FBD为直角三角形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由； 例9题图① 【思维教练】要使△FBD为直角三角形，可分两种情况：①BD为Rt△FBD的直角边，利用两垂直直线解析式中k的关系求出直线DF的解析式，进而求得点F的坐标；②BD为Rt△FBD的斜边，利用垂直的性质即可求解； (1)解：存在．分以下两种情况： ①当BD为Rt△FBD的直角边时，如解图①， 过点B作BD的垂线，与x轴无其他交点， 故此情况不存在点F.过点D作BD的垂线 交x轴于点F1， 例9题解图① ∵抛物线的解析式为y＝ x2－x－4，∴B(4，0)，D(1，－ )， ∴直线BD的解析式为y＝ x－6， ∵DF1⊥BD1，∴可设直线DF1的解析式为y＝－ x＋b， 将D(1，－ )代入y＝－ x＋b，得b＝－ ， ∴直线DF1的解析式为y＝－ x－ ， 当y＝0时，－ x－ ＝0， 解得x＝－ ， ∴点F1的坐标为(－ ，0)； 例9题解图① ②当BD为Rt△FBD的斜边时，如解图①，以BD的中点E为圆心，BE长为半径画圆，圆与x轴交于点F2， ∵点B在x轴上， ∴DF2⊥OB， ∴点F2的坐标为(1，0)． 综上所述，点F的坐标为(－ ，0)或(1，0)； 例9题解图① 【思维教练】要使△PAC为直角三角形，可分两种情况： ①AC为Rt△PAC的直角边，利用两垂直直线解析式中k的关系求出直线AP的解析式，与抛物线解析式联立即可求得点P的坐标； ②AC为Rt△PAC的斜边，通过辅助圆来判断是否 存在点P即可； (2)若点P是抛物线上的一点，是否存在点P，使得△PAC为直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 例9题图② (2)解：存在．分以下两种情况： ∵抛物线的解析式为y＝ x2－x－4， ∴A(－2，0)，C(0，－4)， ∴直线AC的解析式为y＝－2x－4， 设直线AP1的解析式为y＝ x＋d， 将A(－2，0)代入y＝ x＋d，得d＝1， ∴直线AP1的解析式为y＝ x＋1， 例9题图② ①当AC为Rt△PAC的直角边时，如解图②，过点A作AC的垂线交抛物线于点P1，连接P1C，过点C作AC的垂线交抛物线于点P2，连接P