5.3.2函数的最大（小）值与导数课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

函数的最大（小）值与导数 1.对于可导函数,若x0满足 ,且在x0的两侧的导数 ,则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极值,并且: (1)如果在x0附近的左侧 ,右侧 (简记为“ ”）,则x0是f(x)的极大值点,f(x0)是极大值; 注意：若x0是函数f(x)的极值点，则 . 课前准备 (2)如果在x0附近的左侧 ,右侧 (简记为“ ”）,则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值; 2.求可导函数f(x)极值的步骤： (2)求导数f′(x)； (3)求方程f′(x) =0的根； (4)用方程f′(x) =0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格. 检查f′(x)在方程根左右的符号， ①如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值； ②如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值. (1)确定函数的定义域； + - x0 - + x0 课前准备 （1）一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： 3.最大值与最小值 （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M. （2）存在x0∈I，使得f(x0)=M， 那么，称M是函数y=f(x)的最大值. （2）一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M. （2）存在x0∈I，使得f(x0)=M， 那么，称M是函数y=f(x)的最小值. 课前准备 4 4 2024年3月28日星期四11时7分28秒 4 在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题. 函数在什么条件下一定有最大、最小值？它们与函数极值关系如何？ 问题1：极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小. 知识探究1 知识探究1 分析：图（1）最大值f(b),最小值f(a)；图（2）最大值f(x3),最小值f(x4). 知识探究1 知识探究1 思考4:根据函数最值的概念,探究以下问题: (1)函数的极值是否一定是函数的最值? 提示:不一定.端点值也可能是函数的最值.如f(b)是最小值. 知识探究1 (2)若连续函数f(x)在区间[a,b]上有唯一的极值点且为极小值点x0,则f(x0)是否是最小值? 分析:是.函数y=f(x)在[a,x0]上单调递减,在[x0,b]上单调递增,故f(x)在x0点取得最小值,f(x0)是最小值. 知识探究1 思考5：开区间(a,b)上连续函数y=f(x)的最值情况: 图(1)中的函数y=f(x)在开区间(a,b)上 ; 图(2)中的函数y=f(x)在开区间(a,b)上 ; 图(3)中的函数y=f(x)在开区间(a,b)上 ; 图(4)中的函数y=f(x)在开区间(a,b)上 . 知识探究1 1.函数y=f(x)在[a,b]上(　　) A.极大值一定比极小值大 B.极大值一定是最大值 C.最大值一定是极大值 D.最大值一定大于极小值 解析：由函数的最值与极值的概念可知,y=f(x)在[a,b]上的最大值一定大于极小值.选D. 认知演练1 2.下列是函数f(x)在[a,b]上的图象,则f(x)在(a,b)上无最大值的是(　　) 认知演练1 解析：在开区间(a,b)上,只有D选项所示函数f(x)无最大值.选D. 知识探究2 知识探究2 知识探究2 知识探究2 认知演练2 认知演练2 （2）方法一:∵f(x)=x2-4x+6=(x-2)2+2, ∴f(x)在区间［1,2］内单调递减，在区间［2,5］内单调递增. ∴x=5时，函数取到最大值为f(5)=11； x=2时，函数取到最小值为f(2)=2. 认知演练2 方法二：∵f′(x)=2x-4, 令f′(x)=0，即2x-4=0，得x=2. 当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表： x 1 (1,2) 2 (2,5) 5 f′(x) - 0 + f(x) 3 ↗ 2 ↘ 11 由表知：函数f(x)在区间［1，5］内的最大值为11，最小值为2 . 认知演练2 2.（1）函数y=x- ,x∈［1,3］的最大值为_____，最小值为_____. 解析：∵函数y=x- 在x∈［1,3］上单调递增， ∴所以当x=3时，ymax=3- . 当x=1时，ym