8.3 简单几何体的表面积和体积 - 2023--2024学年高一数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019必修第二册）

简单几何体的表面积和体积 1 柱体 ① 棱柱 体积： (其中是棱柱的高) ② 圆柱 (1) 侧面积： (2) 全面积： (3) 体积： (其中为底圆的半径，为圆柱的高) 2 锥体 ① 棱锥 棱锥体积：(其中为圆柱的高)； ② 圆锥 (1) 圆锥侧面积： (2) 圆锥全面积： (其中为底圆的半径，为圆锥母线) (3) 圆锥体积： (其中为底圆的半径，为圆柱的高) 3台体 ① 圆台表面积 其中是上底面圆的半径，是下底面圆的半径，是母线的长度.  ② 台体体积 其中分别为上，下底面面积，为圆台的高. 4 球体 面积，体积（其中为球的半径） 【题型1】 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 【典题1】 正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素. 如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为( ) A. B. C. D. 【典题2】正四棱台的上、下底面的边长分别为，，侧棱长为，则其体积为(　　) A. B. C. D. 【巩固练习】 1.(★★) 某广场设置了一些石登供大家休息，这些石登是由正方体截去八个一样的四面体得到的. 如图所示，已知正方体棱长为6 ，则该石登的体积为( ) A. 180 B. 36 C. 72 D. 216 2.(★★)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(　　) A. B. C. D. 3.(★★) 正四棱台中，经过正四棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做该正四棱台的对角面. 若正四棱台的上、下底面边长分别为2，4 ，对角面面积为，则该棱台的体积为 A. 28 B. C. D. 74 4.(★★)某工厂需要制作一个如图所示的模型，该模型为长方体 挖去一个四棱锥 后所得的几何体，其中为长方体 的中心，分别为所在棱的中点，，那么该模型的表面积为 A. B. C. D. 5.(★★) 清初著名数学家孔林宗曾提出一种 “茨藜形多面体”，其可由相同的两个正交的正四面体组合而成 (如图1)，也可由正方体切割而成 (如图 2) .在“茳藜形多面体”中，若正四面体的棱长为2 ，则该几何体的体积为( ) 图 1 图2 A. B. 2 C. D. 4 6.(★★★)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体（如图）：面为矩形，棱．若此几何体中，都是边长为的等边三角形，则此几何体的表面积为（　　） A． B． C． D． 7.(★★) 《九章算术》中的方亭指的是正四面形棱台体建筑物，正四面形棱台即今天的正四棱台. 如图，某方亭的上底面与下底面的边长分别为4和 8 ，每个侧面与下底面夹角的正切值均为，则方亭的侧面积为 . 8.(★★★)如图，正三棱锥的底面边长为，高为，正三棱柱 的顶点分别在三条棱上， 在底面 上，问三棱柱 的侧面积的最大值为 . 【题型2】 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 【典题1】 已知某圆锥的侧面积为底面积的3 倍，体积为，则该圆锥的母线长为 ) A. B. C. D. 【典题2】 (多选)在边长为2的菱形中，，垂足为点，以 所在的直线为轴，其余四边旋转半周形成的面围成一个几何体，则( ) A. 该几何体为圆台 B. 该几何体的高为 C. 该几何体的表面积为 D. 该几何体的体积为 【巩固练习】 1.(★) 某圆锥的侧面积为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 ) A. 2 B. 4 C. D. 2.(★) 若某圆锥的母线与底面所成的角为，且其母线长为4 ，则该圆锥的体积为( ) A. B. C. D. 3.(★★) 若正四棱柱与以正方形的外接圆为底面的圆柱的体积相同，则正四棱柱与该圆柱的侧面积之比为(