6.2.4向量的数量积课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

6.2平面向量的运算 第六章 平面向量及其应用 课时4 向量的数量积 探究一：两向量的夹角与向量数量积的定义 如图，在物理学中，一个物体在力 𝐹 的作用下产生位移𝒔，那么力 𝐹 所做的功𝑊=|𝐹||𝒔|cos𝜃 ，其中𝜃是𝐹与𝒔的夹角. 情境设置 问题：能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果? 【解析】可以 问题：向量数量积的运算结果与向量线性运算的结果有什么不同? 【解析】数量积的运算结果是实数，向量线性运算的结果是向量. 2 新知生成 知识点一 向量夹角的定义 1. 两向量夹角定义：已知两个非零向量，， 是平面上的任意一点，作 ，，则 叫作向量与的夹角.(平移到同一个起点) 特例：①当时，向量𝒂，𝒃______; ②当时，向量𝒂，𝒃 ______; ③当时，向量𝒂，𝒃______，记作𝒂⊥𝒃. 同向 反向 垂直 3 新知生成 知识点一 平面向量数量积的定义 2. 平面向量数量积的定义： 已知两个非零向量𝒂与𝒃，它们的夹角为𝜃，把数量|𝒂||𝒃|⋅cos𝜃叫作向量𝒂与 𝒃的数量积(或内积)，记作𝒂⋅𝒃 ，即𝒂⋅𝒃=|𝒂||𝒃|cos𝜃.特别地，零向量与任何向量的数量积等于0. (1)“·”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“×”. (2)数量积的结果为数量，不是向量. (3)非零向量数量积的正负由两个向量的夹角𝜃决定： 当𝜃是零角或锐角时，数量积为正； 当𝜃是钝角或平角时，数量积为负； 当𝜃是直角时，数量积等于零. 4 一、向量数量积运算 例题1 已知向量|𝒂|=2，|𝒃|=3. (1)若向量𝒂，𝒃的夹角为，求𝒂⋅𝒃； (2)若𝒂⋅𝒃=−1，求向量𝒂，𝒃夹角的余弦值. 【解析】(1)因为向量， ，向量，的夹角为 ，所以 . (2)设向量 ， 的夹角为 ，由数量积的定义，得 ， 故向量，夹角的余弦值为 . 5 反思感悟 方法总结 求向量的数量积时，若已知向量的模及其夹角，则可直接利用公式𝒂⋅𝒃=|𝒂||𝒃|cos𝜃.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，两向量的夹角可以直接确定的条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件. 6 新知运用 跟踪训练1 已知正的边长为2，求： (1) ；(2) ；(3) . 【解析】(1) 与 的夹角为 ， . (2) 与 的夹角为 ， . (3) 与 的夹角为 ， . 7 探究二：投影向量 如图，一束平行光线照射在线段𝐴𝐵上，在直线𝑙上的投影如下. 情境设置 问题：图中的线段叫作什么? 设直线与直线的夹角为，那么 与，之间有怎样的关系? 【解析】 线段叫作线段 在直线. . 8 新知生成 知识点二 投影向量 1. 投影向量定义： 设，是两个非零向量，过 的起点 和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为 ，得到，这种变换为向量向向量投影， 叫作向量 在向量 上的__________. 2. 投影向量写法： 在平面内任取一点，作 ，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为 ，过点作直线的垂线，垂足为，则 __________. 注意：记 与的夹角为，则在的投影向量为： 9 新知生成 知识点二 投影向量 3. 投影向量的性质： 设𝒂，𝒃是非零向量，它们的夹角是𝜃，𝒆是与𝒃方向相同的单位向量，则 (1) 𝒂⋅𝒆=𝒆⋅𝒂=|𝒂|cos𝜃. (2) 𝒂⊥𝒃⇔𝒂⋅𝒃=0. (3) 当𝒂与𝒃同向时， 𝒂⋅𝒃= |𝒂||𝒃|； 当𝒂与𝒃反向时， 特别地， 或 (4) |𝒂⋅𝒃||𝒂||𝒃|. 注意：非零向量的数量积的符号由夹角决定. 当时，非零向量的数量积为正数. 当 时，非零向量的数量积为零. 当时，非零向量的数量积为负数. 10 二、投影向量 例题2 (1) 已知 , 为单位向量，与的夹角为则在上投影向量的模为( ) . A. B. C.1 D. (2) 已知，为单位向量，与的夹角为 ，则向量在向量上的投影向量为_____. 【解析】(1) 因为 , 为单位向量，与的夹角为 ，所以 在 上投影向量的模为 .故选C. (2) 因为 , ，所以向量 在 上的投影向量为 . C 11 反思感悟 方法总结 关于平面向量数量积的几何意