6.2.3向量的数乘运算课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

6.2平面向量的运算 第六章 平面向量及其应用 课时3 向量的数乘运算 探究一：向量的数乘运算 一物体做匀速直线运动，1秒钟的位移对应的向量为𝒂，在同一方向上前进3秒钟的位移对应的向量是3𝒂吗?在其反方向上运动3秒钟的位移对应的向量又是多少? 情境设置 问题：物体的位移是多少?向量 3𝒂，−3𝒂与𝒂从长度和方向上分析具有怎样的关系? 【解析】类比数的运算，前进3秒钟的位移是3𝒂，反向运动3秒钟的位移是 −3𝒂. 3𝒂的长度是𝒂的长度的3倍，它的方向与向量𝒂的方向相同. −3𝒂 的长度是𝒂 的长度的3倍，它的方向与向量𝒂的方向相反. 2 新知生成 知识点一 向量数乘的定义 一般地，我们规定实数𝜆与向量𝒂的积是一个______，这种运算叫作向量的数乘，记作_______，它的长度和方向规定如下： ① |𝜆𝒂|= ______. ②当 𝜆>0 时， 𝜆𝒂 的方向与 𝒂 的方向______； 当 𝜆<0 时， 𝜆�� 的方向与 𝒂 的方向______. 特别地，当时，. 向量 𝜆𝒂 |𝜆||𝒂| 相同 相反 3 一、向量的数乘运算 例题1 如图所示，已知在平行四边形中， 为边的中点，与相交于点 ，若，则( ) . A. , B. , C. , D. , 【解析】如图所示， , 为边 的中点， ， , ， ,又 , , . A 4 反思感悟 方法总结 利用向量数乘的几何意义解题，要准确理解向量数乘的几何意义，画出图形并结合图形的性质求解. 5 新知运用 跟踪训练1 在平行四边形中， 为的中点，记 , ，则( ). A. B. C. D. 【解析】因为 , ① ， ② 得 , 得 ， 所以 . C 6 探究二：向量数乘的运算律 已知向量 𝒂 ，有以下三个结论： (1) 3(2𝒂)=6𝒂； (2) (2+3)𝒂=2𝒂+3𝒂； (3) 2(𝒂+𝒃)=2𝒂+2𝒃. 情境设置 问题：请通过作图判断以上结论是否成立? 7 新知生成 知识点二 向量数乘的运算律 1.向量数乘的运算律：设 𝜆，𝜇为任意实数，则 (1) 𝜆(𝜇𝒂)= _______； (2)(𝜆+𝜇)𝒂= ________； (3) 𝜆(𝒂+𝒃)= ________. 特别地，有 (−𝜆)𝒂= =， 𝜆(𝒂−𝒃)= ________. 2.线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量𝒂，𝒃，以及任意实数𝜆，，恒有____________. 8 二、向量数乘的运算律 例题2 (1) 若，化简 ( ) A. B. C. D.以上都不对 (2) 若，则 _________. 【解析】(1) 原式 . (2)由已知，得 ， 所以 ，所以 . C 9 反思感悟 方法总结 向量线性运算的基本方法 (1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数. (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当地运用运算律，简化运算. 10 新知运用 跟踪训练2 计算： (1) . (2) 【解析】(1)原式. (2)原式= . 11 探究三：向量共线定理及其应用 已知向量𝒂，𝒃，实数. 情境设置 问题1：对于向量 𝒂，𝒃，如果有一个实数𝜆，使 𝒃=𝜆𝒂(𝒂≠𝟎)，那么𝒂与𝒃共线吗? 【解析】由向量数乘的定义， 𝜆𝒂 的方向与𝒂的方向相同或者相反，符合共线向量的定义，因此𝜆𝒂与𝒂共线，即𝒂与𝒃共线. 问题2：如果向量𝒃与非零向量𝒂共线，其中的一个向量一定是另一个向量的数乘向量吗?即𝒃=𝜆𝒂成立吗?此时的𝜆是否唯一? 【解析】如果向量𝒃与非零向量𝒂共线，那么向量𝒃的长度与非零向量𝒂的长度之间存在𝜇倍的关系，且𝜇唯一，即 |𝒃|=𝜇|�