6.2.1向量的加法运算 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

6.2平面向量的运算 第六章 平面向量及其应用 课时1 向量的加法运算 探究一：向量的加法及几何意义 如图，某质点从点𝐴经过点𝐵到达点𝐶. 情境设置 问题：上述这个质点的位移可以怎么表示? 【解析】从运算的角度看， 可以认为是 与 的和，即 . 2 新知生成 知识点一 向量的加法 1.向量加法的定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 2.向量求和的法则 (1)三角形法则 已知非零向量，，在平面内取任意一点 ，作，则向量 叫作与的和，记作 ，即.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任意向量 ，规定 3 新知生成 知识点一 向量的加法 (2)平行四边形法则 以同一点为起点的两个已知向量 ， 为邻边作，则以为起点的向量 就是向量与的和.把这种作两个向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则. 注意：位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型. 4 一、求作向量的和 例题1 (1)如图①，利用向量加法的三角形法则作出𝒂+𝒃； (2)如图②，利用向量加法的平行四边形法则作出 𝒂+𝒃. 【解析】(1)如图③，设 ，因为与有公共点 ，所以过 点作 ，连接 ，即为. (2)如图④，设 ，过点作 ，则以 ， 为邻边作 ，连接 ，则 . 5 反思感悟 方法总结 应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题 (1)三角形法则可以推广到 𝑛 个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即 𝑛 个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第 𝑛 个向量的终点的向量； (2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合； (3)求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单. 6 新知运用 跟踪训练1 如图所示，已知向量𝒂，𝒃，𝒄不共线，作向量𝒂+𝒃+𝒄. 【解析】(法一：三角形法则)如图①，在平面 内作 ， ，则 ，再作 ，则 . (法二：平行四边形法则)如图②，在平面内作 ， ，以 ， 为邻边作平 行四边形 ，则 ，再作 ， 以 ， 为邻边作平行四边形 ，则 . 7 二、向量加法的实际应用 例题2 河水自西向东流动的速度为 10km/h ，小船自南岸沿正北方向航行， 小船在静水中的速度为 km/h ，求小船的实际航行速度. 【解析】 设，分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点 作， ，以， 为邻边作矩形连接， 则，并且 即为小船的实际航行速度. ， ， ， 小船的实际航行速度为 ，沿北偏东的方向航行. 8 反思感悟 方法总结 应用向量解决实际问题的基本步骤 (1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题. (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题. (3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题. 9 新知运用 跟踪训练2 如图，用两根绳子把重的物体吊在水平杆子上， 求和处所受力的大小(绳子的重量忽略不计). 【解析】向量如图所示，设 , 分别表示 , 处所受的力,的重力用 表示，则 . 由题意可得 ， . ， . 处所受的力为 ， 处所受的力为 . 10 新知生成 知识点二 向量的模的性质 1. 零向量与任意向量𝒂的关系 零向量与任意向量𝒂的和都有𝒂+𝟎=𝟎+𝒂=𝒂. 2. |𝒂+𝒃|，|𝒂|，|𝒃|之间的关系 一般地， ，当且仅当 𝒂，𝒃方向相同或相反时,等号成立. 11 三、向量的模的性质 例题3 证明：对于任意给定的向量𝒂，𝒃，均有|𝒂+𝒃|≤|𝒂|+|𝒃|. 【解析】(1) 若 , 中有一个为 ，则结论显然成立. (2)若 , 都不是 ，设 , ，则 . ①当 , 不共线时，由三角形的性质知， ， 即 ，如图(1)； ②当 ， 共线且 ， 同向时， ，即 ，如图(2)； 综上， . 12 反思感悟 方法总结 本题是利用图形证明，证明时注意： (1)平面中两个向量的位置关系 有共线与不共线两种情况，共线又有同向和反向两种情况，证明时各种情况都得考虑. (2)当证明不等式时，不能忽视等号成立的条件，否则会造成证明过程不全面而失分. 13 新知运用 跟踪训练3 已知非零向量，，，，则 的最大值为____. 【解析】因为 ，当且仅当 ， 方向相同时，等号成立，所以 的最大值为13. 14 探究三：向量的运算律 实数的加法满足交换