6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用第3课时教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第3课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用 教学内容 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用. 教学目标 通过实例，能灵活应用两个原理解决较为复杂的综合实际问题. 教学重点与难点 （1）教学重点：两个原理的综合应用；领悟“完成一件事”的含义， （2）教学难点：“完成一件事”的含义的领悟. 教学过程设计 环节一 综合应用，提升能力 例5 计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试.程序员需要知道到底有多少条执行路径（程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据.一般地，一个程序模块由许多子模块组成.图6.1-3所示是一个具有许多执行路径的程序模块，它有多少条执行路径？ 另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数.你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？ 师生活动 学生边读例题边思考如下问题： （1）在解决“它有多少条执行路径？”这个问题时，是在完成一件什么事？怎么完成这件事？如何计算执行路径条数？ （2）在解决“帮助程序员设计一个测试方法”这个问题时，你是在完成一件什么事？怎么完成？完成这件事情的方式唯一吗？如何计算测试次数？ （3）从这个问题的解决来看，你觉得解决计数问题的关键是什么？ 在教师的引导下，学生分组讨论以上问题，再抽学生分享结果. （1）在解决“它有多少条执行路径？”这个问题时，完成的事情是“从开始到结束的执行路径”，分两步完成：第一步是从开始执行到A点；第二步是从A点执行到结束.而第一步分为3类，分别是“子模块1”“子模块2”“子模块3”，有条路径；第二步分为2类，分别是“子模块4”“子模块5”，有条路径.所以共有条执行路径. （2）在解决“帮助程序员设计一个测试方法”这个问题时，完成的事情是“测试这个程序编写是否正确无误，每条执行路径是否都正确无误”，可以有不同的完成方法，要使测试次数最少，可先分别测试各个子模块的执行路径是否正确无误，分5类需测试次；然后测试各个子模块之间交流是否正确无误，分2步需测试次，所以共需测试次，远远低于7371次的测试次数。 （3）从这个问题的解决来看，解决计数问题的关键是“搞清楚完成的是一件什么事？怎么去完成它？”本题的完整解答过程见教科书第8~9页例7. 设计意图 这个问题的难点在于“计算执行路径条数”与“计算测试次数”需要完成的事情是有区别的，这里通过问题激发学生的思考，使学生在“完成不同的事情”与“完成同一件事情的不同方式”的比较中理解完成一件事情的具体含义，在对“减少测试次数”这个问题的思考中提升分析与解决问题的能力，最后通过（3）找到解决计数问题的关键，培养学生总结提炼的习惯. 例6 通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如图6.1-4所示.其中，序号的编码规则为： （1）由10个阿拉伯数字和除O，I之外的24个英文字母组成； （2）最多只能有2个英文字母. 如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？ 师生活动 教师引导学生思考这里要完成的“一件事情”是什么，学生先独立思考，再分组讨论，最后分享交流所思所想. 由号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数，根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母. （1）当没有字母时，序号的每一位都是数字，确定一个序号可以分为5个步骤，每一步都可以从10个数字中选1个，各有10种选法.根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为. （2）当有1个字母时，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类. 当第1位是字母时，分5个步骤确定1个序号中的字母和数字：第一步，从24个字母中选1个放在第1位，有24种选法；第二至五步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法.根据分步乘法计数原理，号牌张数为. 同样，其余四个子类号牌也各有240000张，根据分类加法计数原理，这类号牌张数一共为. （3）当有2个字母时，根据这2个字母在序号中的位置，可以将这类序号分为十个子类：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位. 当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第一步和第二步都是从24个字母中选1个分别放在第1、第2位，各有24种选法；第三至五步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法.根据分步乘法计数原理，号牌张数为. 同样