8.2 一元线性回归模型及应用-2023-2024学年高二数学《一隅三反》系列（人教A版2019选择性必修3）

8.2 一元线性回归模型及应用 考法一 一元线性回归模型 【例1-1】（2024·四川绵阳）已知变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示， x 2 4 6 8 y 5 8.2 13 m 则下列说法正确的是（    ） A． B．变量y与x是负相关关系 C．该回归直线必过点 D．x增加1个单位，y一定增加2个单位 【例1-2】（2024湖南长沙）党的十八大以来，全国各地区各部门持续加大就业优先政策实施力度，促进居民收入增长的各项措施持续发力，居民分享到更多经济社会发展红利，居民收入保持较快增长，收入结构不断优化，随着居民总收入较快增长，全体居民人均可支配收入也在不断提升．下表为某市2014~2022年全体居民人均可支配收入，将其绘制成散点图（如图1），发现全体居民人均可支配收入与年份具有线性相关关系. 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 全体居民人均可支配收入（元） 18352 20110 22034 24153 26386 28920 30824 33803 35666 参考数据：. 参考公式：对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为. (1)设年份编号为（2014年的编号为1，2015年的编号为2，依此类推），记全体居民人均可支配收入为（单位：万元），求经验回归方程（结果精确到0.01）； (2)为进一步对居民人均可支配收入的结构进行分析，某分析员从2014~2022中任取2年的数据进行分析，将选出的人均可支配收入超过3万的年数记为，求随机变量的分布列与数学期望. 【例1-3】（2023河南南阳）在线性回归方程中，为回归系数，下列关于的说法中不正确的是（    ） A．为回归直线的斜率 B．，表示随增加，值增加，，表示随增加，值减少 C．是唯一确定的值 D．回归系数的统计意义是当每增加（或减少）一个单位，平均改变个单位 【一隅三反】 1．（2023青海海南）某厂近几年陆续购买了几台 A 型机床，该型机床已投入生产的时间x(单位：年)与当年所需要支出的维修费用y(单位：万元)有如下统计资料： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7 根据表中的数据可得到线性回归方程为 则该型机床已投入生产的时间为10年时，当年所需要支出的维修费用估计为（   ） A．12.9万元 B．12.36万元 C．13.1万元 D．12.38 万元 2．（2024·甘肃陇南）（多选）某厂近几年陆续购买了几台 A 型机床，该型机床已投入生产的时间x(单位：年)与当年所需要支出的维修费用y(单位：万元)有如下统计资料： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7 根据表中的数据可得到经验回归方程为. 则（    ） A． B．y与x的样本相关系数 C．表中维修费用的第60百分位数为6 D．该型机床已投入生产的时间为 10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元 3．（2024·陕西）某村在推进乡村振兴的过程中，把做活乡村产业作为强村富民的重要抓手，因地制宜推进茶叶种植，成立了茶叶合作社．为了对茶叶在销售旺季进行合理定价，合作社进行了市场调研，得到了销售旺季时销量（吨）关于售价（元/公斤）的散点图．    (1)求关于的线性回归方程； (2)该合作社2023年茶叶总产量为150吨，如果在销售旺季时售价为250元/公斤，在销售旺季没能售出的，年底以每公斤100元的价格卖给批发商，则该合作社2023年的总销售额为多少万元？ 公式及参考数据：关于的线性回归方程为，其中，；，，，． 考法二 残差的计算 【例2】（2024·云南大理）已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下表对应数据： 1 3 4 5 7 15 20 30 40 45 根据表中数据得到关于的经验回归方程为，则当时，残差为 .（残差观测值-预测值） 【一隅三反】 1．（2023黑龙江双鸭山）色差和色度是衡量玩具质量优劣的重要指标，已知该产品的色度和色差之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为（30,22.8），则该数据的残差为（    ） A．0.6 B．0.4 C． D． 2．（2023·河南）已知一组样本数据，，，，根据这组数据的散点图分析与之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为，则在样本点处的残差为（    ） A．38.1 B．22.6 C． D．91.1 3．（2024·云南楚雄）对具有线性相关关系的变量有一组观测数据（），其经验回归方程为，