平面向量复习讲义-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

平面向量 1．向量的概念与向量的模 【知识点】 向量概念：既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量． 向量的几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示． 有向向量的长度为模，表示为||、||， 单位向量表示长度为一个单位的向量； 长度为0的向量为零向量． 向量的模：的大小，也就是的长度（或称模），记作||． 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定． 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）． 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性． 【题目练习】 1．如图，四边形ABCD中，＝，则必有（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 2．下列说法中，正确的是（　　） ①长度为0的向量都是零向量； ②零向量的方向都是相同的； ③单位向量都是同方向； ④任意向量与零向量都共线． A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 3．对下面图形的表示恰当的是（　　） A．AB B． C． D．|AB| 4．下列说法中正确的是（　　） A．向量的模都是正实数 B．单位向量都是相等向量 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 5．下列说法正确的是（　　） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 6．下列说法正确的是（　　） A．身高是一个向量 B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量 C．有向线段由方向和长度两个要素确定 D．有向线段和有向线段的长度相等 7．若四边形ABCD中，||＝||，且||＝||，则对该四边形形状的说法中错误的是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．正方形 【答案】 1．【解答】解：四边形ABCD中，＝，∴AB∥DC，且AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形； ∴＝﹣，A错误；＝﹣，B错误；≠，C错误；＝，D正确．故选：D． 2．【解答】解：①长度为0的向量都是零向量，正确；②零向量的方向任意，故错误； ③单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误；④任意向量与零向量都共线，正确．故选：D． 3．【解答】解：有向线段AB表示向量．故选：B． 4．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，零向量的模为0，故A不正确； 对于B，单位向量的方向可以是任意的，故B不正确；对于C，向量的大小即为向量的模，与方向无关，故C正确；对于D，任意的向量不能比较大小，故D不正确；故选：C． 5．【解答】解：零向量的模长为0，不是正实数，故A错误；根据零向量的定义可知：零向量方向是任意的，故B错误；模长为1个单位长度的向量叫单位向量，故C正确；向量是既有大小又有方向的量，不是实数，故D错误．故选：C． 6．【解答】解：身高和温度都是标量，不是向量，AB都错误；有向线段由起点、方向和长度三个要素确定，C错误；根据有向线段长度的定义即知D正确．故选：D． 7．【解答】解：四边形ABCD中，则其为平行四边形，若同时满足||＝||，即邻边相等，就是菱形， 最后||＝||，即对角线相等，就满足了矩形的条件，于是三项都满足的四边形为正方形．故选：C． 2．向量相等与共线 【知识点】 相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量． 共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量． 规定：零向量与任一向量平行． 注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移． 【解题方法点拨】 平行向量与相等向量的关系： （1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行； （2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等． （3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量． （4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量． 【题目练习】 1．关于向量，，下列命题中，正确的是（　　） A．若，则＝ B．若，，则 C．若，则 D．若，则 2．已知，是两个不共线的向量，，．若与是共线向量，则实数k的值为　 　． 【答案】 1．【解答】解：选项A