2023--2024学年华东师大版九年级数学上册期末复习压轴题特训课件

期末压轴题全攻略 ⁠ 考向一　一元二次方程与概率的综合 典例1　现有3张正面分别标有数字1、2、6的卡片，它们除数字外完全相同.把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取1张，将上面的数字记为a（不放回），再从中任意抽取1张，将上面的数字记为b.求a、b能使关于x的一元二次方程x2－2（a－3）x－b2＋9＝0有两个正根的概率. 思路导引　首先通过列表或画树状图得到所有等可能的结果，结合根与系数之间的关系，以及根的判别式，进行讨论得到结果. （典例1图） 由图，可知共有6种等可能的结果. ∵ 方程有两个正根， ∴ x1＋x2＝2（a－3）＞0，x1·x2＝－b2＋9＞0，解得a＞3，－3＜b＜3. ∴ a只能取6，b能取1或2. 当a＝6，b＝1时，原方程为x2－6x＋8＝0，此时Δ＝（－6）2－4×1×8＞0； 当a＝6，b＝2时，原方程为x2－6x＋5＝0，此时Δ＝（－6）2－4×1×5＞0. 规范解答　画树状图如图所示. ∴ a、b能使关于x的一元二次方程x2－2（a－3）x－b2＋9＝0有两个正根的结果有a＝6，b＝1或a＝6，b＝2，共2种. ∴ a、b能使关于x的一元二次方程x2－2（a－3）x－b2＋9＝0有两个正根的概率为＝. ⁠ 1. 甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数、、1的卡片，乙中有三张标有数1、2、3的卡片，卡片除所标的数外无其他差别，现制定游戏规则如下：从甲中任取一张卡片，将上面的数记为a，从乙中任取一张卡片，将上面的数记为b.若a、b能使关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0有两个不相等的实数根，则A获胜；否则B获胜.求A获胜的概率. 解：∵ 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0有两个不相等的实数根，∴ b2－4a＞0.画树状图如图所示.由图，可知共有9种等可能的结果，其中A获胜的结果有5种. ∴ A获胜的概率为. 考向二　一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的综合 典例2　已知关于x的方程x2－2mx＋m2－m＝0有两个不相等的实数根x1、x2.求： （1） m的取值范围. （2） 代数式＋－3x1·x2的最大值. 思路导引　（1） 根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的不等式，解之即可得出m的取值范围.（2） 根据根与系数的关系可得出x1＋x2＝2m，x1x2＝m2－m，将其代入＋－3x1x2＝（x1＋x2）2－5x1x2中，可得到关于m的二次二项式，通过配方可以确定代数式的最大值. 规范解答　（1） ∵ 关于x的方程x2－2mx＋m2－m＝0有两个不相等的实数根， ∴ Δ＝（－2m）2－4×1·（m2－m）＞0. ∴ m＞0. （2） ∵ x1、x2是关于x的方程x2－2mx＋m2－m＝0的两个不相等的实数根， ∴ x1＋x2＝2m，x1·x2＝m2－m. ∴ ＋－3x1·x2＝（x1＋x2）2－5x1·x2＝（2m）2－5（m2－m）＝－m2＋5m＝－＋. ∵ 不论m取何值，总有－≤0， ∴ －＋≤. ∴ 当－＝0，即m＝时，＋－3x1·x2有最大值，为. 方法归纳 求与两根有关的代数式的值的方法 （1） 关于一元二次方程根与系数的问题，常用的解法是首先求出两根之和与两根之积，然后化简所求代数式，再代入，最后一定不能忘记根据判别式检验字母的取值范围.（2） 求代数式的最值时，一般需要先将该代数式配成一个平方与一个常数的和的形式，再结合字母的取值范围求出最值. ⁠ 2. 已知关于x的方程x2－（m－2）x－＝0.　 （1） 求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根. 解：（1） ∵ Δ＝[－（m－2）]2－4×1·＝2m2－4m＋4＝2（m－1）2＋2＞0，∴ 无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根. （2） 设方程的两个实数根为x1、x2，且满足（x1＋x2）2＝｜x1｜－｜x2｜＋2，求m的值. 解：（2） 由题意，得x1＋x2＝m－2，x1·x2＝－.∵ x1·x2＝－≤0，∴ x1、x2有一个为0或异号.当x2＜0时，∵ （x1＋x2）2＝｜x1｜－｜x2｜＋2，∴ （x1＋x2）2＝x1＋x2＋2.令x1＋x2＝a，则a2＝a＋2.∴ a＝2或a＝－1，即x1＋x2＝2或x1＋x2＝－1.∴ m－2＝2或m－2＝－1.∴ m＝4或m＝1.当x1＜0时，∵ （x1＋x2）2＝｜x1｜－｜x2｜＋2，∴ （x1＋x2）2＝－x1－x2＋2.∴ 易得x1＋x2＝－2或x1＋x2＝1.∴ m－2＝－2或m－2＝1.∴ m＝0或m＝3.当x1、x2中有一个为0时，∵ 易得－＝0，∴ m＝0.综上所述，m的值为4或1或0或3. 考向三　与相似三角形有关的动态问题 典例3　如图①，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，点B的坐标是（