常考大题解析几何(A)-【衡水金卷·先享题】2024年高考数学专项提分卷（新高考）

常考大题解析几何(A) (限时60分钟，满分48分) 1.(12分)已知双曲线C号-若=1a>0.b>0)过 2.(12分)已知点F(0,1),动点M在直线1：y=一1 上，过点M且垂直于x轴的直线与线段MF的垂 P(2,0),P:(0,4),P(-2√10,3)，P(2√10， 直平分线交于点P,记点P的轨迹为曲线C 3)四个点中的三个点. (1)求曲线C的方程： (1)求双曲线C的方程： (2)已知O为坐标原点，圆x十(y十2)=4的一 (2)若直线1与双曲线C交于A,B两点，且PA⊥ 条直径为AB,延长AO,BO分别交曲线C于S,T P,B,求证：直线/经过一个不在双曲线C上的定 两点，求四边形ABST面积的最小值」 点，并求出该定点的坐标 数学第53页（共58页） 3.12分)尼知椭圆E:号+若1o>6>0)的离心 4.(12分)已知椭圆C的中心为坐标原点O,对称轴 为x轴、y轴，且点(3,2√2)和点(、W6,2)在椭圆 率为e,且过(2,0)，(1，e)两点 C上，椭圆的左顶点与抛物线T:y2=2px (1)求椭圆E的方程： (p>0)的焦点F的距离为4. (2)已知O为坐标原点，若经过M(1,0)有两条不 (1)求椭圆C和抛物线下的方程； 同的直线，l2,它们的斜率互为倒数，山与椭圆E (2)直线I:y=是.r十m(k≠0)与抛物线厂交于P, 交于A,B两点，与椭圆E交于C,D两点，P,Q Q两点，与椭圆C交于MN两点. 分别是线段AB,CD的中点.试探究：△OPQ与 (「)若m=k,抛物线T在点P,Q处的切线交于 △MPQ的面积之比是否为定值？若是，请求出此 点S,求证：|PF|·|SQ=|QF·|SP|2: 定值：若不是，请说明理由 (i)若m=一2k,是否存在定点T(x。,0),使得直 线MT,VT的倾斜角互补？若存在，求出，x的 值：若不存在，请说明理由. 数学第54页（共58页）数学 参考答案及解析 所以△B,BC为正三角形， 又△ABC为正三角形且边长为2， 则C节=C+驴=C方+A丽-(，-3，-号） 则BC⊥AO.BC⊥BO,且AO=BO=V5, +x-1.)=(1-a-3是a-1)小 又AB=√6，所以AO+B,G=AB所， 所以BO⊥AO, 设直线PC,与平面ACC,A,所成角为0， 因为BC门AO=O,BC,AOC平面ABC, 则in0=1cosC户，m1=n…G户 所以B,O⊥平面ABC, |n·CP 所以三棱柱ABC一AB,C的体积V=B:O·SA 6 3 =8×5×2=3. √/13×√4(x-3x+3)√13×√-3以+3 (4分) (10分) (2)在△AOB中，AO=B,O=√3，AB,=3, 令f(A)■ (0≤1≤1)， 由余弦定理可得cos∠AOB,= (3)2+(3)-3 √13×√-3+3 则∫（入）在[0,1门单调递增， 2×3×√3 =一 断以1a)e[3沿] 所以∠A0B,=等，由1)知BCLA0,BCLB.O, 故直线PC与平面ACC,A所成角的正弦值的取值 范围为 又B,OnAO=O,B,O,AOC平面B1AO, [3] (12分) 所以BC⊥平面AOB,, 常考大题解析几何(A)》 因为BCC平面ABC, 1.解：(1)根据双曲线的对称性可知P,(一2√而，3)， 所以平面AOB,⊥平面ABC, P,(2√10,3)关于y轴对称. 所以在平面AOB,内作O:⊥OA,则O:⊥平面ABC, 所以P,P必同时在双曲线上，而P(0,4)不可能 (6分) 以O为原点，OA,OC,O:所在直线分别为x轴、y轴、 在双线号一芳-1上 之轴建立如图空间直角坐标系， 则双曲线还经过点P(2.0).则听-希=1. 将点P(-2√0,3)代入，可得=1. 所以双曲线C的方程为号-y-1 (4分) (2)(1)当直线1的斜率存在时· 设直线1的方程为y=kx+m,A(y), B(x22), 联立/y=红十m -4y=4:整理得，(1-4k')r-8kmr 则B(（-0，号B(0,-1.0),A(00) 4m2-4=0. 由 11-42≠0 c01.0.c(92,） a-（一8km)-41-4)(-4m-4)>0得 11-4k2≠0 -(-1.0).C-(-3922） (0), 11-4k2+m2>0 设平面ACCA的法向量为n=(x,y,x), 且+ 1-6n=二4m2-4 8km 1-4k (6分) 则/n·A衣 [-5x十y=0 因为P,(2.0),所以PA=(-2M).PB=( ,即 n.Ac=0 9+2y+是=0 _3 2,y) 因为PA⊥PB,所以PA·PB=0,即 取=1，则x=一5，y=-3, (x1一2)(x-2)+y=0, 所以n=(-√3，-3,1) (8分)