两个计数原理与排列、组合课件-2024届高三数学一轮复习

第十一章 计数原理、概率、 随机变量及其分布列 分步乘法计数原理 分类加法计数原理 名称 分步完成一件事，并且只有各个步骤都完成才算完成这件事情，要注意“步”与“步”之间的连续性．分步计数原理可利用“串联”电路来理解 分类完成一件事，并且每类办法中的每种方法都能独立完成这件事情，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性．分类计数原理可利用“并联”电路来理解 运用乘法运算 运用加法运算 不同点 都是解决完成一件事的不同方法的种数问题 相同点 抓牢双基·自学回扣 研透高考·深化提能 直接法 正难则反，等价转化的方法 间接法 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 定序问题除法处理 “小集团”排列问题中先整体后局部 先整体后局部 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的间隔中 插空法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 捆绑法 优先安排特殊元素或特殊位置 优先法 把符合条件的排列数直接列式计算 求解策略 类型 只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数 不等分组 解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数 部分均分 解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A (n为均分的组数)，避免重复计数 整体均分 突破点一　两个计数原理 eq \a\vs4\al([基本知识]) 1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法． m＋n m×n 3．两个计数原理的比较 考法一　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 [例1]　(1)已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b) (a，b∈M)表示平面上的点，则P可表示坐标平面上第二象限的点的个数为 (　　) A．6　　　B．12 C．24 D．36 [解析]　确定第二象限的点，可分两步完成： 第一步确定a，由于a＜0，所以有3种方法； 第二步确定b，由于b＞0，所以有2种方法． 由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6. [答案]　A (2)在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”．比如“102”，“546”为“驼峰数”，由数字1,2,3,4可构成无重复数字的“驼峰数”有________个． [解析] 十位数的数为1时，有213,214,312,314,412,413，共6个，十位上的数为2时，有324,423，共2个，所以共有6＋2＝8(个)． [答案]　8 考法二　两个计数原理的综合应用 在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而可能是同时应用两个计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求解．分类的关键在于做到“不重不漏”，分步的关键在于正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步． [例2]　(1)(2018·合肥三模)某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成5块区域，如图．社区准备从4种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各块区域，要求每个区域种植一种颜色的花卉，且相邻区域(有公共边的)所选花卉颜色不能相同，则不同种植方法的种数为 (　　) A．96 B．114 C．168 D．240 [解析]　首先在a中种植，有4种不同方法，其次在b中种植，有3种不同方法，再次在c中种植，若c与b同色，则d有3种不同方法，若c与b不同色，c有2种不同方法，d有2种不同方法，最后在e中种植，有2种不同方法，所以不同的种植方法共有4×3×1×3×2＋4×3×2×2×2＝168(种)，故选C. [答案]　C　 (2)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 (　　) A．48 B．18 C．24 D．36 [解析] 分类讨论：第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24个；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个)． [