9.1 不等式 讲义 2023--2024学年人教版七年级数学下册

第九章 不等式与不等式组 9.1 不等式 题型归纳 新知梳理 1．不等式的概念 像3>2，2x<3这样用符号“<”或“>”表示大小关系的式子，叫做不等式．像a+2≠a-2这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 用不等号（“<”，“>”，“≥”，“≤”，“≠”）连接的式子，叫做不等式． 常见的不等号 符号 名称 实际意义 读法 举例 < 小于号 小于、不足 小于 1+2<4 > 大于号 大于、高出 大于 2+1>1 ≤ 小于等于号 不大于、不超过、至多 小于或等于 x≤3 ≥ 大于等于号 不小于、不低于、至少 大于或等于 x≥5 ≠ 不等于号 不相等 不等于 2≠3 判断一个式子是不是不等式，主要看它是否含有常用的五种不等号（<，>，≤，≥，≠）中的一种或几种，若有，则是；否则不是． 2．不等式的解及不等式的解集 （1）不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． （2）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．求不等式的解集的过程叫做解不等式． 不等式的解集必须符合两个条件： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有的数值都在该解集中． （3）用数轴表示不等式的解集：不等式的解集表示的是未知数的取值范围，所以不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来．一般来说，一元一次不等式的解集用数轴表示有以下四种情况（设a<0）． 不等式的解集 数轴表示 x>a x<a x≥a x≤a （4）不等式的解与方程的解的区别： 一般不等式的解不是唯一的，有无数个，而方程的解是确定的、具体的数． 3．不等式的性质 不等式的性质1：不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 类别 不同点 相同点 不等式 两边乘（或除以）同一个负数，不等号要改变方向 （1）两边加（或减）同一个数（或式子），不等式和等式仍然成立； （2）两边乘（或除以）同一个正数（或正的式子），不等式和等式仍然成立 等式 两边乘（或除以）同一个负数，等式仍然成立 举一反三 【题型1】不等式的定义 方法点拨 要注意方程与不等式的区别：方程表示相等关系，不等式表示不等关系． （2023春•襄州区月考）下列数表达式①；②；③；④．其中属于不等式的有　　例 1 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】根据不等式的定义逐个判断即可． 【解答】解：不等式有①，③，共2个， 故选：． 【变式1-1】（2023春•石狮市校级期中）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】 【分析】依据不等式的定义进行判断．用“”或“”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“”号表示不等关系的式子也是不等式． 【解答】解：①，属于不等式； ②，属于不等式； ③，属于不等式； ④属于代数式，不合题意； ⑤属于方程，不合题意； ⑥，属于不等式． 故选：． 【变式1-2】（2023春•武侯区校级期末）下面给出了5个式子：①，②，③，④，⑤，其中不等式有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】主要依据不等式的定义用“”、“ ”、“ ”、“ ”、“ ”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断． 【解答】解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式， 所以①②⑤为不等式，共有3个． 故选：． 【变式1-3】（2023春•开江县校级期末）以下表达式：①；②；③；④；⑤．其中不等式有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】 【分析】据不等式的定义进行判断即可． 【解答】解：①；②；⑤是不等式，③；④不是不等式， 即不等式有3个，故正确． 故选：． 【题型2】不等式的解和解集 方法点拨 我们把能使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解．一个不等式的解可以有多个，它是指在某一范围内的数，用它代替不等式中的未知数，不等式成立． 不等式的解集在数轴上的表示 步骤：第一步，画数轴；第二步，定界点；第三步，定方向． 规律：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画． （2023•竞秀区二模）在四个数中，满足不等式的有　　例 2 A． B． C． D．1 【答案】 【分析】根据各数的大小即可做出判断． 【解答】解：在四个数中，， 故满足不等式的有， 故选：． 【变式2-1】（2023•大安市校级模拟）下列数值中是不等式的解的是　　 A． B． C． D．0 【答案】