8.4 三元一次方程组的解法 讲义 2023—2024学年人教版数学七年级下册

第八章 二元一次方程组 8.4 三元一次方程组的解法 题型归纳 新知梳理 1．三元一次方程组的概念 含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． 2．三元一次方程组的解法 （Ⅰ）用代入消元法解三元一次方程组的步骤： ①利用代人法消去一个未知数，得出一个二元一次方程组； ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起，就是所求三元一次方程组的解． （Ⅱ）用加减消元法解三元一次方程组的步骤： ①利用加减法消去一个未知数，得出一个二元一次方程组； ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起，就是所求的三元一次方程组的解． 3．列三元一次方程组解应用题的步骤： （1）审：分析题中的已知量和未知量，明确数量之间的关系； （2）设：设出三个未知数； （3）找：找出与未知数有关的三个相等关系； （4）列：根据这些相等关系列出方程，并组成方程组； （5）解：解这个方程组； （6）答：写出答案，包括单位名称． 举一反三 【题型1】三元一次方程组的概念 方法点拨 1．三元一次方程组必须具备的三个条件： （1）方程组中一共含有三个未知数； （2）含未知数的项的次数都是1； （3）方程组中的每个方程都是整式方程． 2．三元一次方程组的解：三元一次方程组的三个方程的公共解． （2023春•遵化市期中）下列是三元一次方程组的是　　例 1 A． B． C． D． 【答案】 【分析】如果方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是一次，并且方程组中一共有两个或两个以上的方程，这样的方程组叫做三元一次方程组；利用三元一次方程组的定义逐项判断即可得到答案． 【解答】解：对于选项，第二个方程中未知数的次数是2， 故选项中方程组不是三元一次方程组； 对于选项，第一个方程中分母含有未知数， 故选项中方程组不是三元一次方程组； 对于选项，第二个方程中每个未知数的次数都是1，但对于整个方程而言，次数是3， 故选项中的方程组不是三元一次方程组； 对于选项，方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次， 故选项中的方程组是三元一次方程组． 故选． 【变式1-1】（2023春•秦州区校级期中）下列四组数值中，是方程组的解的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用加减消元法，进行计算即可解答． 【解答】解：， ①②得： ④， ①③得： ⑤， ⑤④得： ， 把代入④中， ， 解得：， 把，代入①中， ， 解得：， 原方程组的解为：， 故选：． 【变式1-2】下列不是三元一次方程组的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据三元一次方程组的定义，共含有三个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，进行判断即可． 【解答】解：．方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，不符合题意； ．方程组中含有三个未知数，但含未知数的项的最高次数是2，不是三元一次方程组，符合题意． ．方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，不符合题意； ．方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，不符合题意； 故选：． 【变式1-3】下列方程组中，不是三元一次方程组的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据三元一次方程组的定义判断求解． 【解答】解：：含有三个未知数，，，且最高次数是1，都是整式方程，所以是三元一次方程组； ：含有三个未知数，，，且最高次数是1，都是整式方程，所以是三元一次方程组； ：含有三个未知数，，，且最高次数是1，都是整式方程，所以是三元一次方程组； ：含有三个未知数，，，但是是三元二次方程，所以不是三元一次方程组； 故选：． 【题型2】三元一次方程组的解法 方法点拨 （1）要根据方程组的特点决定先消去哪个未知数． （2）原方程组的每个方程在求解过程中至少要用到一次． （3）将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组的每一个方程中进行检验，看每个方程等号左、右两边的值是否相等，若都相等，则是原方程组的解，只要有一个方程等号左、右两边的值不相等，就不是原方程组的解． （2023春•东莞市期末）解方程组．例 2 【答案】． 【分析】利用加减消元法与代入消元法，进行计算即可解答． 【解答】解：， 把②代入①得：， ④， 把②代入③得：， ⑤， ④⑤得：， 解得：， 把代入④得：， 解得：， 原方程组的解为：． 【变式2-1】（2023春•松江区期末）解方程组：． 【答案】． 【分析】方程