8.3 实际问题与二元一次方程组 讲义 2023--2024学年人教版七年级数学下册

第八章 二元一次方程组 8.3 实际问题与二元一次方程组 题型归纳 新知梳理 1．列二元一次方程组解应用题的一般步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系； ②设：设未知数（一般求什么，就设什么）； ③找：找出应用题中的相等关系； ④列：根据相等关系列出两个方程，组成方程组； ⑤解：解所列的方程组，求出未知数的值； ⑥答：检验所求未知数的值是否符合题意，写出答案（包括单位名称）． 【温馨提示】①列方程组解应用题的关键是准确地找出题中的几个相等关系，正确地列出方程组． ②设未知数时可直接设未知数，也可间接设未知数． ③一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． ④“审”和“找”两步可在草稿纸上进行，书面上主要写“设”“列”“解”和“答”四个步骤． ⑤要根据应用题的实际意义检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去． ⑥“设”“答”两步都要写清单位名称． ⑦在列方程组时，要注意等号左、右两边单位的统一． 2．列方程（组）解应用题的注意事项 （1）方程两边表示的是同类量； （2）同类量的单位要统一； （3）方程两边的数值要相等； （4）方程（组）的解要符合问题的实际意义． 3．列二元一次方程组应用题的常见类型的基本关系式 （1）和差倍分问题：较大量=较小量+多余量，总量=倍数×一份的量． （2）产品配套问题：加工总量成比例． （3）速度问题：路程=速度×时间 （4）航速问题 ①顺流（风）速度=静水（无风）中的速度+水（风）速； ②逆流（风）速度=静水（无风）中的速度－水（风）速． （5）工程问题：工作量=工作效率×工作时间． （6）增长率问题 原量×（1+增长率）=增长后的量，原量×（1－减少率）=减少后的量． （7）浓度问题：溶液质量×浓度=溶质质量． （8）银行利率问题 免税利息=本金×利率×期数，税后利息=本金×利率×期数－本金×利率×期数×税率． （9）利润问题：利润=售价－进价，利润率=×100%． （10）盈亏问题：解这类问题关键是从盈（过剩）、亏（不足）两个角度来把握事物的总量． （11）数字问题 解这类问题，要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关的概念、特征及表示． （12）几何问题 解这类问题要准确掌握有关几何图形的性质和周长、面积等计算公式． （13）年龄问题：解这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数相等这一特征． 举一反三 【题型1】数字问题 方法点拨 正确利用未知数表示出对应的数字，此时往往不是直接设出数字，而是设出数位上的数字，从而解决问题．要注意多位数的表示方法，如：个位上为x，十位上为y的两位数为10y+x． （2023春•浏阳市期末）一个两位数的两个数字之和为10，两个数字之差为6，求这个两位数，此题的解有　　例 1 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】 【分析】设十位数字为，个位数字为，根据两个数字之和为10、两个数字之差为6，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设十位数字为，个位数字为， 根据题意得：或， 解得：或， 该两位数为82或28，共2个， 故选：． 【变式1-1】（2023春•魏县期末）在一个的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方．如图，方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则的值是 　　，的值是 　　． 【答案】5；27． 【分析】根据三阶幻方的定义可得，求出的值，同理求出的值，然后代入计算即可． 【解答】解：由每行每列每条对角线上的三个数之和相等可得， ， 又，即， ， ， 故答案为：5，27． 【变式1-2】（2023秋•兴庆区期末）一个两位数，十位数字和个位数字之和是7，如果把十位数字和个位数字对调，那么得到的新两位数比原两位数大45，求原两位数． 【答案】原两位数为16． 【分析】设原两位数的十位数字为，个位数字为，根据十位数字和个位数字之和是7，如果把十位数字和个位数字对调，那么得到的新两位数比原两位数大45，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设原两位数的十位数字为，个位数字为， 依题意得：， 解得：， 答：原两位数为16． 【变式1-3】（2023春•金东区期中）阅读材料并完成题目 【材料一】我们可以将任意三位数记为 （其中，，分别表示该数百位数字，十位数字和个位数字，且，显然． 【材料二】若在一个两位正整数的个位数字与十位数字之间源上数字4，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为的“明礼数”，如36的“明礼数”为346；若将一个两位正整数加4后得到一个新数，我们称这个新数为的“修身数”，如37的“修身数”为41． （1）30的“明礼数”是 　　，“修身数”是 　　． （2）求证：对任意一个两位正整数，其“明礼数