8.2 消元-解二元一次方程组 讲义 2023--2024学年人教版七年级数学下册

第八章 二元一次方程组 8.2 消元-解二元一次方程组 题型归纳 新知梳理 1．代入消元法解二元一次方程组 （1）消元思想的概念 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）代人法解二元一次方程组的一般步骤： ①变形：从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来． ②代入：将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程． ③解方程：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值． ④求值：将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解． 2．加减消元法解二元一次方程组 （1）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法． （2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤： ①变形：先观察系数特点，将同一个未知数的系数化为相等的数或相反数． ②加减：用加减法消去系数互为相反数或系数相等的同一未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程． ③解方程：解一元一次方程，求出一个未知数的值． ④求值：将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解． 3．整体消元法解二元一次方程组 根据方程组中各系数特点，可将方程组中的一个方程或方程的一部分看成一个整体，代入到另一个方程中，从而达到消去其中一个未知数的目的，求得方程组的解． 举一反三 【题型1】用恰当的消元法解二元一次方程组 方法点拨 1．代入消元法 （1）用代入法消元时，由方程组里的一个方程得出的关系式须代入到另一个方程中去，如果代入原方程，就不可能求出原方程组的解了． （2）方程组中各项系数不全是整数时，应先化简，即应用等式的性质，化分数系数为整数系数． （3）当求出一个未知数后，把它代入变形后的方程y=ax+b（或x=ay+b），求出另一个未知数的值比较简单． （4）要想检验所求得的一对数值是否为原方程组的解，可以将这对数值代入原方程组的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，否则说明解题有误． 2．加减消元法 （1）当两个方程中某一个未知数的系数互为相反数时，可将两个方程相加消元；当两个方程中某一个未知数 的系数相等时，可将两个方程相减消元． （2）当方程组中相同未知数的系数的绝对值既不相等，也没有倍数关系时，则消去系数绝对值较小的未知数较简单，确定要消去这个未知数后，先要找出两方程中该未知数系数的最小公倍数，再把这两个方程中准备消去的未知数的系数化成绝对值相等的数． （2023秋•彰武县期末）解下列方程组：例 1 （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）将原方程组变形后利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：（1）， ①+②得：4y＝10， 解得：y＝， 将y＝代入①得：5﹣2x＝2， 解得：x＝， 故原方程组的解为； （2）原方程组变形得， ①×3+②×2得：17x＝153， 解得：x＝9， 将x＝9代入①得：27+2y＝39， 解得：y＝6， 故原方程组的解为． 【变式1-1】（2023秋•兴庆区校级期末）解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）方程组整理后，方程组利用加减消元法求解即可． 【解答】解：（1）， 将①代入②得，3x+2x﹣10＝0， 解得x＝2， 将x＝2代入①得，y＝2x＝4， ∴方程组的解为：； （2）， 整理得，， ①﹣②得，﹣5y﹣（﹣2y）＝﹣3， 解得y＝1， 将y＝1代入①得，3x﹣5×1＝3， 解得． ∴方程组的解为：． 【变式1-2】（2023秋•沈北新区期末）解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）采用加减消元法，由①②得：，求出的值，再代入①式中，即可求得的值，从而得到答案； （2）采用代入消元法，由①得：③，将③代入②得，，求出的值，再将的值代入③即可求得的值，从而得到答案． 【解答】解：（1）， 由①②得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 方程组的解为； （2）解：， 由①得：③， 将③代入②得，， 解得：， 把代入③得，，方程组的解为．