7.1 平面直角坐标系 讲义 2023—2024学年人教版数学七年级下册

第七章 平面直角坐标系 7.1 平面直角坐标系 题型归纳 新知梳理 1．有序数对 （1）定义：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对．记作：（a，b）． 注意：（1）两数中间有“，”两边有括号；（2）数对（a，b）与（b，a）不同． （2）有序数对的作用：利用有序数对可以在平面内准确表示一个位置． 2．平面直角坐标系 （1）定义：满足一下条件的两条数轴叫做平面直角坐标系：①原点重合；②互相垂直；③习惯上取向右、向上为正方向，单位长度一般取相同． （2）由点找坐标的方法 过点作x轴的垂线，垂足在x轴上对应的数a就是点的横坐标； 过点作y轴的垂线，垂足在y轴上对应的数b就是点的纵坐标． 有序数对（a，b）就是点的坐标． （3）由坐标找点的方法 先找到表示横坐标与纵坐标的点，然后过这两点分别作x轴与y轴的垂线，垂线的交点就是该坐标对应的点． 3．点的坐标的特征 （1）坐标轴中各象限内及坐标轴上点的坐标特征 点的位置 点（a，b）的横、纵坐标的符号 图示 第一象限 a>0，b>0 第二象限 a<0，b>0 第三象限 a<0，b<0 第四象限 a>0，b<0 x轴 正半轴：a>0，b=0 负半轴：a<0，b=0 y轴 正半轴：a=0，b>0 负半轴：a=0，b<0 原点 a=0，b=0 （2）特殊直线上点的坐标特征 点的位置 点的横、纵坐标的关系 在角平分线上 在第一、三象限的角平分线上 相等 在第二、四象限的角平分线上 互为相反数 在平行于坐标轴的直线上 在平行于x轴的直线上 纵坐标相等 在平行于y轴的直线上 横坐标相等 举一反三 【题型1】由点的坐标符号判断点的位置题型 方法点拨 若点的坐标是已知数，则根据各象限及坐标轴上点的坐标符号特点直接判断出该点所在的象限或坐标轴；若点的坐标含有字母，需要进行分类讨论作出判断． （2023秋•普宁市期末）在平面直角坐标系中，点在　　例 1 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【解答】解：点的横坐标小于0，纵坐标大于0，点所在的象限是第二象限，故正确． 故选：． 【变式1-1】（2023秋•皇姑区期末）点在轴上，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据轴上点的纵坐标等于零，可得答案． 【解答】解：由题意，得， 解得， ， 点的坐标为， 故选：． 【变式1-2】（2023秋•朝阳区校级期末）下列各点中，在第一象限内的点是　　 A． B． C． D． 【分析】根据各象限内点的坐标的符号特征解答即可． 【解答】解：、是第一象限内的点，符合题意； 、是第二象限内的点，不符合题意； 、是第四象限内的点，不符合题意； 、是第三象限内的点，不符合题意； 故选：． 【变式1-3】（2023秋•哈尔滨期末）在平面直角坐标系中，下列各点位于第二象限的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据坐标系中各个象限内点的坐标的符号以及坐标轴上的点的特征即可判断． 【解答】解：．在第一象限，故本选项不合题意； ．在第四象限，故本选项不合题意； ．在第二第象限，故本选项符合题意； ．在第三象限，故本选项不合题意． 故选：． 【题型2】点的坐标特征的综合应用 方法点拨 要熟记几种类型的点的坐标特征，如：x轴或y轴上的点的坐标特征，第一、三象限角平分线或第二、四象限角平分线上点的坐标特征，各个象限内点的坐标特征，平行于x轴或y轴的直线上的点的坐标特征等． （2023秋•淮北期中）已知点是平面直角坐标系上的点．例 2 （1）若点是第二象限的角平分线上一点，求点的坐标； （2）若点在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据第二象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数列出方程求解即可； （2）根据第一象限内点的横坐标与纵坐标都是正数利用点到两坐标轴的距离的和列方程求解即可． 【解答】解：（1）点在第二象限的角平分线上， ， 解得； ； （2）点在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为9， ， 解得； ． 【变式2-1】（2023春•黄梅县期末）已知点，试分别根据下列条件，求出点的坐标． （1）点在轴上； （2）点到轴的距离为2，且在第四象限． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据轴上点的横坐标为0列方程求出的值，再求解即可； （2）根据点到轴的距离列出绝对值方程求解的值，再根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数求解． 【解答】解：（1）点在轴上， ， 解得， 所以，， 所以，点的坐标为； （2）点到轴的距离为2， ， 解得或， 当时，， ， 此时，点，