6.1 平方根 讲义 2023--2024学年人教版七年级数学下册

第六章 实数 6.1 平方根 题型归纳 新知梳理 1．算术平方根 （1）定义： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根． （2）表示方法 a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫被开方数． （3）算术平方根的性质 ①正数a的算术平方根为； ②0的算术平方根是0，即=0； ③负数没有算术平方根． （4）拓展 算术平方根具有双重非负性． ①被开方数a是非负数，即a≥0； ②算术平方根本身是非负数，即≥0． 2．估算 （1）估算能力是一种重要的数学运算能力，特别是对算术平方根的估算，通常取与被开方数最接近的两个完全平方数的算术平方根，然后与之相比． 如：估算的大小，可以取与13最接近的两个完全平方数9和16．因为9<13<16，所以<<，即3<<4． （2）知识拓展：用夹逼法按照精确度估计a（a≥0）的近似值 ①确定的整数部分：根据算术平方根的定义，若夹在两个连续非负整数m，n（m<n）之间，则的整数部分是m． ②确定的小数部分：从较小整数m开始，逐步加0．1，并求其平方，采用与①类似的方法确定的十分位上的数；再用同样的方法确定其他数位上的数，直到能按照精确度估计近似值为止．（注意：若要求精确到百分位，估算过程中需计算到千分位再用四舍五入法确定百分位的值） 3．平方根 （1）平方根的概念 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根或二次方根． 【注意】在这里，a是x的平方数，它的值是正数或零，因为任何数的平方都不可能是负数，即a≥0． （2）开平方的概念 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 4．平方根与算术平方根的区别 （1）定义不同； （2）个数不同，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个； （3）表示方法不同，正数a的平方根表示为，正数a的算术平方根表示； （4）取值范围不同，正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根为一正一负． 举一反三 【题型1】求算术平方根或平方根 方法点拨 这类题型看似简单，但学生容易犯两种错误： （1）求平方根时遗漏负的平方根，直接得出算术平方根，如“9的平方根为3”； （2）审题不清，求错算术平方根或平方根，如“的算术平方根为2”． （2023秋•长春期末）的算术平方根　　例 1 A．是3 B．是 C．是 D．不存在 【答案】 【分析】根据负数没有算术平方根即可作出判断． 【解答】解：因为负数没有算术平方根， 所以没有算术平方根， 故选：． 【变式1-1】的平方根是　　 A．3 B． C． D． 【答案】 【分析】如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．记为，如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根，由此即可得到答案． 【解答】解：， 的平方根是． 故选：． 【变式1-2】若是9的算术平方根，则是　　 A．3 B． C．9 D．81 【答案】 【分析】根据平方运算，可得一个数的算术平方根． 【解答】解：， ， 故选：． 【变式1-3】4的平方根是 　　． 【分析】一个数的平方等于，那么这个数即为的平方根，据此即可求得答案． 【解答】解：，， 的平方根是， 故答案为：． 【题型2】利用平方根的性质求值 方法点拨 解题时常用到的平方根的性质： （1）一个正数a有两个平方根，其中一个是“”，另一个为“”，它们互为相反数，即和为0； （2）被开方数是非负数，即负数没有平方根． （2022秋•七星关区期末）若与是同一个正数的两个平方根，则的值为　　例 2 A． B． C．1 D．2 【答案】 【分析】根据平方根的定义进行计算即可． 【解答】解：与是同一个正数的两个平方根， ， 解得， 故选：． 【变式2-1】（2022秋•井研县期末）若实数，满足，则的平方根为　　 A．4 B．8 C． D． 【分析】利用绝对值的性质以及二次根式的性质得出，的值，进而利用平方根的定义得出答案． 【解答】解：， ，， ，， 则， 64的平方根是：． 故选：． 【变式2-2】（2023春•日喀则市期末）若，为实数，且满足，则的值是 　　． 【分析】利用两个非负数的和为0，这两个非负数分别为0即可求解． 【解答】解：， ，， 解得：，， ． 故答案为：． 【变式2-3】（2023春•扎赉特旗期末）一个正数的的平方根是与，求和的值． 【分析】根据平方根的定义得出，进而求出的值，即可得出的值． 【解答】解：一个正数的的平方根是与， 或 解得：或， 或． 或． 【题型3】利用平方根的知识解方程 方法点拨 利用平方根的定义解方程 将各式转化为等号的左边是含x的一个式子的平方式，右边是一个非负数的形式，如x2=m或（ax+b）2=m（m≥0），然后利用平方根的定义得到x=±或ax+b=±，进而得到原方程的解． （20