5.3 平行线的性质 讲义 2023--2024学年人教版七年级数学下册

第五章 相交线与平行线 5.3 平行线的性质 题型归纳 新知梳理 1．平行线的性质 （1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 符号语言为：如果a∥b，那么∠1=∠2，示意图如图： （2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 符号语言为：如果a∥b，那么∠2=∠4，示意图如图： （3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 符号语言为：如果a∥b，那么∠2+∠3=180°．示意图如图： 2．命题 （1）定义：判断一件事情的语句，叫做命题，如：对顶角相等． （2）组成：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，通常写成：“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． （3）真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题． （4）假命题：命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题． 3．定理与证明 （1）定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理也可以作为继续推理的依据． （2）证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明． 举一反三 【题型1】利用平行线的性质求角度 方法点拨 1．只有在“两条平行线被第三条直线所截”的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论，这是平行线特有的性质．解决问题时，需仔细观察图形，必要时能灵活适当地作出辅助线求解． 2．解决平行线性质求角度的问题，首先回顾下平行线的性质，再从所求角度出发，结合已知条件寻求所求角度与已知之间的数量关系，有时也会用到题中的隐含条件，如三角形内角和等关系等来求解． （2023秋•中原区校级期中）如图所示，直线，直线与，相交，若，的度数为　　例 1 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由推出平行线的性质推出，又，求出，由对顶角的性质得到． 【解答】解：， ， ， ， ． 故选：． 【变式1-1】（2023秋•前郭县期中）如图，把一根铁丝折成图示形状后，，若，，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据三角形外角的性质求出，再由平行线的性质表示出即可得出答案． 【解答】解：，， ． ， ． 故选：． 【变式1-2】（2023•新城区校级一模）如图，直线，含有角的三角板的直角顶点在直线上，点在直线上，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】过作，推出，由平行线的性质得到，，求出，即可得到． 【解答】解：过作， ， ， ，， ， ， ． 故选：． 【变式1-3】（2023•洪泽区二模）如图两直线、与的边相交，且、分别与、平行．根据图中所示角度，可知的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由两直线平行，同旁内角互补可得出和的度数，再根据三角形内角和可得出的度数． 【解答】解：因为、分别与、平行， 所以，， 所以，， 所以． 故选：． 【题型2】平行线的判定和性质综合 方法点拨 熟悉平行线的三种基本判定方法、平行公理的推论及平行线的性质，能区别清楚判定和性质，根据已知（或隐含的）条件综合利用平行线及相交线的知识求解． （2023春•甘州区校级期末）如图，，，，求．例 2 【分析】此题要注意由，可得，由等量代换可得，可得，根据平行线的性质可得，即可求解． 【解答】解：（已知） （两直线平行，同位角相等）； （已知）， （等量代换）； （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，同旁内角互补）． ， ． 【变式2-1】（2021秋•郏县期末）补全证明过程：（括号内填写理由） 一条直线分别与直线、直线、直线、直线相交于、、、，如果，，求证：． 证明：（已知），，　　 ，　　 ，　　 ，　　 又，　　 　　，　　 ，　　 ．（等量代换） 【答案】对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；已知；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【分析】根据平行线的性质和判定解答即可． 【解答】证明：（已知），（对顶角相等）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， 又（已知）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）． 故答案为：对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；已知；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【变式2-2】（2021秋•驿城区校级期末）请把下列证明过程补充完整． 已知：如图，，是直线，，，， 求证： 证明：（已知） 　　　 　 （已知） 　 　（等量代换） （已知） 　 　 即　 　 　 　（等量代换） 　 　 【分析】