5.2 平行线及其判定 讲义 2023—2024学年人教版数学七年级下册

第五章 相交线与平行线 5.2 平行线及其判定 题型归纳 新知梳理 1．平行线的定义和画法 （1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作a∥b，读作a平行于b． （2）平行线没有公共点；在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行，应特别注意“在同一平面内”这一条件，重合的直线视为一条直线． （3）平行线定义满足三个条件：一是在同一平面内，二是两条直线，三是不相交，三者缺一不可． （4）平行线的画法 一落：把三角尺一边落在已知直线上； 二靠：用直尺紧靠三角尺的另一边； 三推：沿直尺推动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四画：沿三角尺过已知点的边画直线． （5）平行线的表示 记作：a∥b； 读作：直线a平行于直线b． 2．平行线的基本事实及其推论 （1）平行线的基本事实（平行公理）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 如图，如果b∥a，c∥a，那么b∥c． 3．平行线的判定 （1）判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行． （3）判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简单说成：同旁内角互补，两直线平行． 举一反三 【题型1】平行公理及其推论 方法点拨 强调“经过直线外一点”，而非直线上的点；“有且只有”强调直线的存在性和唯一性． （2022春•环江县期中）如图，，，，，求，和的度数．例 1 【分析】由平行线的性质可判断，与互补，，则可求得结果． 【解答】解：，， ， ，， 又， ， ， ． 答：，和的度数分别是、、． 【变式1-1】（2023春•利川市期中）若直线，，，有下列关系，则推理正确的是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】 【分析】根据平行公理及推论，逐一判断即可解答． 【解答】解：、，，，故不符合题意； 、，，与不一定平行，故不符合题意； 、，，，故符合题意； 、，，与不一定平行，故不符合题意； 故选：． 【变式1-2】（2022秋•太康县期末）如图，若，，那么等于　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用平行线的性质得出，，进而得出答案． 【解答】解：，， ，， ． 故选：． 【变式1-3】（2022春•渑池县期中）已知：如图，，平分，平分，求的度数；请补全下列解法中的空缺部分． 解：过点作交于点． 　　， 　　　　， 　　， 　　　　， 且　　（平行于同一直线的两直线也互相平行）， 　　（两直线平行，内错角相等）， 平分，平分． 　　，　　．　　， 　　， ． 总结：两直线平行时，同旁内角的角平分线　　． 【分析】过点作交于点，根据平行线的判定与性质，即可得到的度数，进而得出结论． 【解答】解：过点作交于点． （已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， 且（平行于同一直线的两直线也互相平行）， （两直线平行，内错角相等）， 平分，平分， ，（角平分线定义）， （等量代换）， ． 总结：两直线平行时，同旁内角的角平分线互相垂直． 故答案为：已知；；两直线平行，同旁内角互补；；；；；角平分线定义；等量代换；互相垂直． 【题型2】平行线的判定 方法点拨 1．判定平行线的思路： （1）定：确定已知条件是位置关系还是数量关系； （2）选：若已知条件是位置关系，则用平行公理的推论证明；若已知条件是数量关系，则选用平行线的3个判定方法证明． 2．应用平行线的3种判定方法判定两直线平行的步骤 （1）分离“三线八角”． （2）识别两角的位置关系． （3）根据平行线判定方法进行判断． （2023春•管城区期末）如图，点、分别在、上，于点，，，求证：．请填空．例 2 证明：（已知） 　　 又　　 　　　　 　　 　　 又　　（平角的定义） 　　 又（已知） 　　 　　（内错角相等，两直线平行） 【答案】垂直的定义；已知；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；；90；同角的余角相等；． 【分析】先证得，由得，利用平角定义得出，结合可以得出，从而得证． 【解答】证明：（已知）， （垂直的定义）． 又（已知）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （等量代换）． 又（平角的定义）， ． 又（已知）， （同角的余角相等）， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：垂直的定义；已知；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；；90；同角的余角相等；． 【变