第20章 数据的分析 讲义 2023--2024学年人教版八年级数学下册

►人教版数学　　八年级下册 专题05 数据的分析 ◆ 知 识 清 单 ◆ 1．平均数 （1）平均数的概念 （2）平均数的计算方法 （3）用样本平均数估计总体平均数 2．众数 3．中位数 4．平均数、中位数和众数的联系与区别 5．极差 6．方差 7．标准差 8．极差、方差和标准差的联系与区别 9．数据分析的步骤 知识全归纳 考点1 数据的集中趋势 1．平均数的概念 （1）平均数：一般地，如果有n个数，，…，，那么，叫做这n个数的平均数，读作“x拔”． （2）加权平均数：如果n个数中，出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（这里），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中f1，f2，…，fk叫做权． 2．平均数的计算方法 （1）定义法 当所给数据，，…，比较分散时，一般选用定义公式：． （2）加权平均数法 当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：，其中． （3）新数据法 当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：． 其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，x′1=x1-a，x′2=x2-a，…，x′n=xn-a． 是新数据的平均数（通常把，，…，叫做原数据，x′1，x′2，…，x′n叫做新数据）． 3．用样本平均数估计总体平均数 （1）组中值：数据分组后，一个小组的两个端点的数的平均数叫做这个小组的组中值． （2）用样本平均数估计总体平均数 用样本估计总体是统计中最常用的方法，也就是用样本的特征去估计总体的相应特征，常用的是用样本的平均数估计总体的平均数． （3）用样本估计总体的准确性 用样本估计总体时，可能会产生误差，一般样本容量越大，估计的值就越准确． 4．众数 （1）定义 一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数．如：1，2，3，3，3，2的众数为3． （2）求一组数据的众数的方法：找出出现频数最大的那个数据，若几个数据频数都是最多的且频数相同，则这几个数据都是众数． 5．中位数 将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数． 6．平均数、中位数和众数的联系与区别 联系 都是数据的代表，都可以反映一组数据的集中趋势，能从不同的角度提供信息． 区别 平均数 反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数据都有关 优点 所有数据都参加运算，能充分地利用数据所提供的信息，在现实生活中较为常用 缺点 易受极端值的影响 中位数 反映一组数据的中等水平 优点 计算简单，受极端值影响较小 缺点 不能充分利用所有数据的信息 众数 只与数据出现的次数有关 优点 是人们尤为关心的一个量，因为它是组数据中重复出现次数最多的那个数 缺点 当各个数据的重复次数大致相等时，众数就没有特别意义了 考点2 数据的波动程度 1．极差 一组数据中最大数据与最小数据的差，称为极差，极差＝最大数据－最小数据． 2．方差 （1）在一组数据，，…，中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，通常用“”表示． （2）方差的计算公式是：． （3）意义：方差反映的是一组数据偏离平均值的情况．方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小． （4）求方差的步骤 一均：求原始数据的平均数； 二差：求原始数据与平均数的差； 三方：求所得各个差的平方； 四均：求所得各平方数的平均数． （5）用样本方差估计总体方差 在考察总体方差时，有时所要考察的总体包含很多个体或者考察本身带有破坏性，就常用样本方差来估计总体方差． （6）拓展 ①若一组数据x1，x2，…，xn的平均数是，则 （Ⅰ）数据ax1，ax2，…，axn的平均数为a； （Ⅱ）数据x1+b，x2+b，…，xn+b的平均数为+b； （Ⅲ）数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为a+b． ②一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变．即若一组数据，，…，的方差为，则数据，，…，的方差也是． ③一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍．即若一组数据，，…，的方差为，则数据，，…，的方差也是． 3．标准差 方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即： 标准差的数量单位与原数据一致． 4．极差、方差和标准差的联系与区别 联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数． 区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反