讲与练专题04 一次函数 讲义 2023-2024学年人教版数学八年级下册

人教版数学 八年级下册 专题04 一次函数 知 识 清 单 1.函数及其相关概念 (1)常量和变量 (2)函数的定义 (3)自变量的取值范围 (4)函数解析式 (5)函数值 (6)函数的图象及画法 2.正比例函数 (1)定义 (2)图象和性质 3.一次函数 (1)定义 (2)图象和性质 (3)一次函数的平移 (4)一次函数与方程 (5)一次函数与不等式 (6)一次函数的应用 4.待定系数法 知识全归纳 考点1 函数及其相关概念 1.常量和变量 在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量,数值始终不变的量为常量. (1)变量和常量是相对而言的,变化过程不同,它们可能发生改变,判断的前提条件是“在同一个变化过程中”,当变化过程改变时,同一个量的身份也可能随之改变,例如,在s=vt中,当s一定时,v,t为变量,s为常量;当t一定时,s,v为变量,而t为常量. (2)“常量”是已知数,是指在整个变化过程中保持不变的量,不能认为式中出现的字母就是变量,如在一个匀速运动中的速度v就是一个常量. (3)变量、常量与字母的指数没有关系,如S= r2中,变量是“S”和“r”,常量是“ ”. (4)判断一个量是不是变量,关键是看其数值是否发生变化. 2.函数的定义 一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数. 对函数定义的理解,主要抓住以下三点: (1)有两个变量. (2)函数不是数,函数的本质是对应,函数关系就是变量之间的对应关系,且是一种特殊的对应关系,一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化. (3)函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思,即对自变量的每一个确定的值,函数有且只有一个值与之对应,对自变量x的不同取值,y的值可以相同. 在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量,随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量即为该自变量的函数. 3.自变量取值范围的确定 使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围. 当用函数关系式表示实际问题时,自变量的取值不但要使函数关系式有意义,而且还必须使实际问题 有意义. 4.函数解析式及函数值 函数解析式:用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系,是描述函数的常用方法,这种式子叫做函数的解析式. (1)函数解析式是等式. (2)函数解析式中指明了哪个是自变量,哪个是函数,通常等式右边的代数式中的变量是自变量,等式左边的变量表示函数. (3)用数学式子表示函数的方法叫做解析式法. 函数值:对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a,函数y所对应的值为b,即当x=a,y=b时,b叫做自变量x的值为a时的函数值. 5.函数的图象及画法 (1)一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象. (2)用描点法画函数图象的一般步骤: ①列表:表中给出一些自变量的值及其对应的函数值. ②描点:在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点. ③连线:按照横坐标由小到大的顺序,把所描出的各点用平滑曲线连接起来. 考点2 一次函数 1.正比例函数 (1)正比例函数的定义 一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数,一般情况下,正比例函数自变量的取值范围是全体实数. (2)正比例函数的图象和性质 正比例函数y=kx(k≠0)的图象是一条经过原点(0,0)的直线,我们称它为直线y=kx(k≠0).正比例函数图象的位置和函数值y的增减性完全由比例系数k的符号决定. ①当k>0时,图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大; ②当k<0时,图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小. 2.一次函数 (1)一次函数的定义 一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数. (2)一次函数的图象和性质 对于y=kx+b(k≠0 ,b≠0). 当k>0,b>0,y=kx+b的图象在第一、二、三象限,y随x的增大而增大; 当k>0,b<0,y=kx+b的图象在第一、三、四象限,y随x的增大而增大; 当k<0,b>0,y=kx+b的图象在第一、二、四象限,y随x的增大而减小; 当k<0,b<0,y=kx+b的图象在第二、三、四象限,y随x的增大而减小. 3.一次函数的平移 (1)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是过点(0,b)且和直线y=kx重合或平行的一条直线. (2)直线y=kx+b可以看作由直线y=kx向上或向下平移|b|个单位长度得到. (3)一次函数图象的平移遵照“左加右减,上加下减”的原则进行,要注意平移后k值不变,只