第16章 二次根式 讲义 2023-2024学年人教版八年级数学下册

►人教版数学　　八年级下册 专题01 二次根式 ◆ 知 识 清 单 ◆ 1．二次根式的概念 2．二次根式的性质 3．二次根式的运算 （1）二次根式的乘除运算 （2）二次根式的加减运算 （3）二次根式的混合运算 知识全归纳 考点1 二次根式的性质 （1）． （2）． （3）． （4）． （5）． （6）． 考点2 二次根式的相关概念 1．二次根式 一般地，我们把形如（a>0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 注意： （1）必须含有二次根号“，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”． （2）被开方数必须是非负数，如和都不是二次根式． （3）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子． （4）式子a表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0．二次根式具有双重非负性． （5）在具体问题中，如果已知二次根式，就隐含a≥0这一条件． （6）形如的式子也是二次根式，b与是相乘的关系，要注意当b是分数时不能写成带分数，例如可写成，但不能写成． 2．最简二次根式 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 3．分母有理化 二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化． 分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号．分母的有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜． 4．可合并的二次根式 将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并． 【注意】判断被开方数相同的二次根式是以化为最简二次根式为前提的，是过化简来判断化简前的二次根式是不是被开方数相同的二次根式． 合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数（式）相加，根指和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如，其中a≥0． 【拓展】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式． 同类二次根式与同类项无论是在表现形式上还是运算法则上都有非常类似之处，学习时可对比来应用． 考点3 二次根式的运算 1．二次根式的乘法： （1）． （2）逆用： （3）推广：① ② 2．二次根式的除法： （1） （2）逆用： （3）推广：① ②，其中． 3．二次根式的加减 （1）法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． （2）步骤： ①将各个二次根式化成最简二次根式； ②找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合并被开方数相同的二次根式——将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变． （3）注意： ①化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分． ②整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用． ③根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式． 4．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）． （2）在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式（平方差公式、完全平方公式）仍然适用． （3）二次根式混合运算的结果一定要化成最简二次根式或整式． 教材划重点 1．化简二次根式的步骤 （1）把被开方数分解因式（或因数）； （2）把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； （3）如果因式中有平方式（或平方数），应用关系式（）把这个因式（或因数）开出来，将二次根式化简． 2．二次根式运算中的注意事项 （1）一般将最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式． （2）二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并．（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来． 学霸爱拓展 （1）若，则a=0，b=0； （2）若，则a=0，b=0； （3）若，则a=0，b=0； （4）若，则a=0，b=0，c=0． 题型易突破 题型1　　二次根式的定义 　（2023秋•沈丘县期末）下列式子一定是二次根式的是　　 典例 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接利用二次根式的定义，一般地，形如的代数式叫做二次根式进行判断即可． 【解答】解：， ， 一定是二次根式， 而、和中的被开方数均不能保证大于等于0，故不一定是二次根式， 故选：． 【跟踪练1】　　（2023秋•射洪市校级期中）已知下列各式：，，，，，其中二次根式有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个