讲与练专题02 实数 讲义2023-2024学年人教版数学七年级下册

人教版数学 七年级下册 专题02 实数 知 识 清 单 1.平方根 (1)平方根(二次方根) (2)开平方 (3)算术平方根 (4)算术平方根的双重非负性 2.立方根(三次方根) (1)开立方 (2)根指数 3.实数 (1)实数的定义 (2)实数的分类 (3)实数与数轴 (4)实数的性质 (5)实数的运算 知识全归纳 考点1 算术平方根及表示 1.定义:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根. 2.表示方法:a的算术平方根记为,叫做被开方数. 3.规定:0的算术平方根是0. 考点2 平方根及表示 1.定义:一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说,如果x2=a,那么x叫做a的平方根. 2.性质 ①正数的平方根有两个,它们互为相反数 ②0的平方根是0. ③负数没有平方根 3.表示方法:正数a的平方根表示为 . 考点3 立方根 1.定义:一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说,如果x3=a,那么x叫做a的立方根. 2.表示方法:数a的立方根表示为a. 3.性质 ①正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0. ②;. 考点4 实数的概念及分类 1.实数的分类 (1)按定义分类: (2)按正负分类: 2.有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用,运算顺序是先算乘方、开方,再算除,最后算加减;如果有括号,先算括号里面的;同级运算按照从左到右的顺序依次进行. 考点5 实数与数轴的关系 实数与数轴上的点是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数. 教材划重点 1.实数的相关概念 (1)实数a、b互为相反数,则a+b=0. (2)实数a、b互为倒数,则ab=1. (3)绝对值: (4)数轴 ①数轴的三要素:原点、正方向、单位长度. ②任何实数都可以用数轴上的点表示,实数与数轴上的点是一一对应的. ③数轴上的点表示的数从左到右依次增大;原点左边的数是负数,原点右边的数是正数. 2.实数的大小比较 (1)绝对值比较法:两个负数比较大小,绝大值大的反而小. (2)数轴比较法:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大. (3)平方比较法:先将要平方的两个数分别平方,再根据a>0,b>0时,可由a2>b2得到a>b来比较大小. (4)取近以值法:首先对要比较的两个数取近以值通过比较其近似值来比较两个数的大小. (5)差值比较法. 3.无理数常见的四种类型 (1)开不尽的数,如,. (2)含有 的绝大部分数,如 ,. (3)具有特定结构的数,如0.10100000(两个1之间依次增加1个0). (4)三角函数数中的一些数,如等. 学霸爱拓展 有理数的运算律可以推广到实数中. 加法交换律:a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律:一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等.即ab=ba 乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等.即(ab)c=a(bc). 乘法分配律:一般地,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,在把积相加.即a(b+c)=ab+ac. 题型易突破 题型1 平方根 已知:的平方根是,的平方根是,求的值. 典例 【分析】根据开方与平方是互逆运算,求出的值,与的值,然后两式联立求出、的值,再代入进行计算即可求解. 【解答】解:的平方根是,的平方根是, ,, 联立解得,,, . 故答案为:13. 【跟踪练1】 (2023春•庄浪县校级期中)若一个正数的平方根分别为和,求这个正数. 【跟踪练2】 (2023春•鄱阳县期末)已知、满足,解关于的方程. 【跟踪练3】 (2023•大冶市一模)求下列各式中的取值: (1). (2). 题型2 立方根 (2023秋•兰考县期中)已知某正数的两个平方根分别是和, 典例 (1)求这个正数; (2)若的立方根是2,求的算术平方根. 【分析】(1)由平方根的性质知,解之可得,据此知这个数为,再代入计算可得; (2)先得出,再代入计算可得. 【解答】解:(1)根据题意知, 解得:, 所以这个数为; (2)根据题意知, 则. 【跟踪练4】 (2023秋•城关区期末)已知的算术平方根是0,,是的立方根,求的平方根. 【跟踪练5】 (2022春•临邑县校级期中)已知:的平方根是,的立方根是3,求的算术平方根. 【跟踪练6】 (2022春•老河口市期中)解方程:. 题型3 实数的分类 (2023春•西湖区期中)在实数,,中有理数有 典例 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】 【分析】整数和分数统称为有理数,依此定义求解即可. 【解答】解:在实