1.1 菱形的性质与判定（知识考点）-2023-2024学年九年级数学章节复习讲与练（北师大版·九年级上册）

1.1 菱形的性质与判定 知识点一：菱形的定义 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 特别说明：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.，菱形的定义也是判定菱形的方法。 知识点二：菱形的性质 1.从边出发：菱形的四条边都相等； 2.从对角线出发：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 特别说明： （1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. 利用菱形是轴对称图形求几何最值问题。 （2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 知识点三：、菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.从边出发：（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）四条边相等的四边形是菱形. 2.从对角线出发：（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 特别说明：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 类型一 证明四边形是菱形 【例1】如图，在中，G为BC边上一点，，延长DG交AB的延长线于点E，过点A作交CD的延长线于点F．求证：四边形AEDF是菱形． 【变式1】如图1，直线，直线分别交直线，于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论： ①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形； ②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形． 下列判断正确的是（       ） A．①②都正确 B．①错误，②正确 C．①②都错误 D．①正确，②错误 【变式2】如图，AC是▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F． （1）求证：△AOE≌△COF； （2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？并说明理由． 类型二 利用菱形的性质求角 【例2】如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为．连接，则等于（       ） A． B． C． D． 【变式1】如图，四边形ABCD内有一点E，AE=EB=BC=CD=DE，AB=AD，若∠C=150，则∠BAD的大小是（   ） A．60 B．70 C．75 D．80 【变式2】如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线BD于点F，垂足为点E，连接AF、AC，若∠DCB＝70°，则∠FAC＝______． 类型三 利用菱形的性质求线段 【例3】如图，菱形中，作、，分别交、的延长线于点． （1）求证：； （2）若点恰好是的中点，，求的值． 【变式一】如图，菱形ABCD，以点B为圆心，BD长为半径作弧，交AD于点E；分别以点D，E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F，射线BF交边AD于点G，连接CG，若∠BCG＝30°，AG＝3，则AB的长为______． 【变式二】如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE＋PF的值为(     ) A．4 B． C．6 D． 类型四 利用菱形的性质求面积 【例4】如图四边形ABCD是菱形，点M、N分别在AB、AD上，且BM=DN，MG∥AD，NF∥AB，点F、G分别在BC、CD上，MG与NF相交于点E，若∠A=120°，AB=a（），AB︰MB=3︰1，则四边形CFEG的面积是______________．（用含a的式子表示） 【变式一】已知菱形的周长为8，两邻角的度数比为1：2，则菱形的面积为（　　） A．8 B．8 C．4 D．2 【变式二】如图，在▱ABCD中，BC＝2AB＝4，点E，F分别是BC，AD的中点． (1)求证：△ABE≌△CDF； (2)当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积． 类型五 利用菱形的性质证明 【例5】如图，在菱形中，，是对角线上的两点，且． （1）求证：≌； （2）证明四边形是菱形． 【变式一】如图，在菱形ABCD中，，E为AB中点，过点E作EF垂直于AB交AC于点F，连接DF，则等于（       ） A．55° B．60° C．65° D．70° 【变式二】如图，四边形是菱形，点E，F分别在边上，添加以下条件不能判定的是（       ） A． B． C． D． 类型六 用菱形的性质与判定求角度 【例6】如图，在菱形中，，在上，将沿翻折至，且刚好