1.2 课时1 向量的加法运算及其几何意义 学案-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

1.2 课时1 向量的加法运算及其几何意义 【学习目标】 1.掌握向量的加法运算,能够运用三角形法则和平行四边形法则作向量的和向量.(直观想象、数学运算) 2.掌握向量加法的运算律,能熟练地运用它们进行向量运算.(直观想象、数学运算) 【自主预习】 　　有两条拖轮牵引一艘轮船,它们的牵引力F1,F2的大小分别是|F1|=3000 N,|F2|=2000 N,牵引绳之间的夹角θ=60°(如图),如果只用一条牵引力为F3的拖轮来牵引,也能产生跟原来相同的效果. 1.上述情境体现了向量的什么运算? 2.向量加法运算常用什么法则? 3.向量的加法运算结果还是向量吗? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)a+0=a. (　　) (2)|a+b|=|a|+|b|. (　　) (3)a+b=b+a.(　　) (4)=++. (　　) 2.化简++=(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 3.已知向量a表示“向东航行3 km”,b表示“向南航行3 km”,则a+b表示　　　　.  【合作探究】 探究1 三角形法则 问题1:如图,某人从点A走到点B,再从点B按原方向走到点C,两次位移的和是什么? 问题2:如图,若上题改为从点A走到点B,再从点B按反方向走到点C,两次位移的和是什么? 问题3:如图,某车从点A行驶到点B,再从点B改变方向行驶到点C,则两次位移的和是什么? 问题4:两个位移求和实际上是什么量求和? 新知生成 已知两个非零向量a,b,在平面上任取一点O,分别作=a,=b,则定义从O到B的向量为a,b的和,记作a+b,即a+b=+=. 1.向量加法的定义 求向量和的运算称为向量的加法. 2.向量加法的三角形法则 将两个向量表示为首尾相接的有向线段来求和的作图法则,叫作向量加法的三角形法则. 特别提醒:向量求和的多边形法则 ①已知n个向量,依次首尾相接,则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和,这称为向量求和的多边形法则.即+++…++=. ②首尾顺次相接的若干向量求和,若构成一个封闭图形,则它们的和为0. 新知运用 例1　如图,已知向量a,b,利用三角形法则求作向量a+b. 方法指导　用三角形法则画图. 【方法总结】　　应用三角形法则求向量和的基本步骤:①平移向量使之“首尾相接”,即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合;②以第一个向量的起点为起点,并以第二个向量的终点为终点作出的向量,即为两个向量的和. 如图所示,求作向量a+b+c. 探究2 平行四边形法则 　　 问题1:在大型生产车间里,一重物被天车从A处搬运到B处(如图).它的实际位移是由哪些位移合成的? 问题2:向量加法的三角形法则和平行四边形法则有什么相同点和不同点? 新知生成 平行四边形法则 从同一点O出发作有向线段=a,=b,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则对角线就是a与b的和,即=a+b. 记忆秘诀:起点相同,对角线为和. 新知运用 例2　如图,已知向量a,b,利用平行四边形法则求作向量a+b. 　　方法指导　用平行四边形法则画图. 【方法总结】　　利用平行四边形法则求向量和的步骤:(1)把两个已知向量的始点平移到同一点;(2)以这两个已知向量为邻边作平行四边形;(3)对角线上以两向量公共始点为始点的向量就是这两个已知向量的和. 如图所示,在正六边形OABCDE中,若=a,=b,试用向量a,b将,,表示出来. 探究3 加法运算律与零向量的加法性质 　　实数的加法满足交换律,向量的加法是否也满足呢? 问题:根据图中的平行四边形ABCD,验证向量的加法是否满足交换律.(注:=a,=b) 新知生成 1.向量加法的运算律 (1)向量加法的交换律:a+b=b+a对任意两个向量a,b成立. (2)向量加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 对任意三个向量a,b,c成立. 2.零向量的加法性质 对任意向量a有a+0=　0+a=a　.  新知运用 例3　化简: (1)(+)+(+); (2)++++. 【方法总结】　　多个向量求和的原则:利用代数方法,通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. 如图,E,F,G,H分别是梯形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,化简下列各式: (1)++; (2)+++. 【随堂检测】 1.在正六边形ABCDEF中,++=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D.0 2.在矩形ABCD中,||=4,||=2,则向量++的长度为(　　). A.2 B.4 C.12 D.6 3.