11.3 余弦定理、正弦定理应用-2023-2024学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

11.3 余弦定理、正弦定理应用 【考点梳理】 考点一：正、余弦定理判定三角形的形状问题 考点二：求三角形的周长或者边长最值或范围问题 考点三：几何图形中的计算 考点四：求三角形面积最值或者范围问题 考点五：测量距离问题 考点六：测量高度问题 考点七：测量角度问题 考点八：正、余弦定理和三角函数综合问题 【知识梳理】 知识一．几个专业术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与坡比 坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 知识二　距离问题 类型 图形 方法 两点间不可到达的距离 余弦定理 两点间可视不可到达的距离 正弦定理 两个不可到达的点之间的距离 先用正弦定理， 再用余弦定理 知识三　高度问题 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C. 底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值. 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值. 【题型归纳】 题型一：正、余弦定理判定三角形的形状问题 1．（2024高一下·江苏·）在中，已知，则为（　　） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知内角A，B，C的对边为a，b，c，若，，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．（22-23高一下·河北保定·阶段练习）在中，其内角的对边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 题型二：求三角形的周长或者边长最值或范围问题 4．（22-23高一下·江苏连云港·期中）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且外接圆半径为，则△ABC周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一下·山东济南·期末）已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，，，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一下·江苏连云港·期中）三内角，，所对边分别是，，.若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型三：几何图形中的计算 7．（22-23高一下·浙江杭州·期中）在中，，AD是的角平分线，，，E是AC的中点，则DE的长度为（    ） A． B． C． D． 8．（21-22高一下·福建泉州·期中）如图，在平面四边形中，，，，，，则（    ） A．1 B．3 C．2 D．4 9．（21-22高一下·四川成都·期中）如图，满足，则（    ） A． B． C． D． 题型四：求三角形面积最值或者范围问题 10．（2023·广西柳州·模拟预测）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 11．（21-22高二下·河南开封·期末）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，．若，则面积的最大值为（    ） A． B． C．16 D． 12．（2022·河南·模拟预测）在中，角所对的边分别为，，，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 题型五：测量距离问题 13．（2024高一下·江苏·专题练习）要测量河对岸两点之间的距离，选取相距的，两点，并测得，，，，则（　　） A．2 B． C．3 D． 14．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，河边有一座塔，其高为 m，河对面岸上有两点与塔底在同一水平面上，在塔顶部测得两点的俯角分别为和，在塔底部处测得两点形成的视角为，则两点之间的距离为（    ）    A． m B．m C． m D． m 15．（2024·吉林·二模）如图，位于某海域处的甲船获悉，在其北偏东 方向处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救. 甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东，且与甲船相距的处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为（    ） A．