考前回顾04 数列（知识清单+易错分析+23年高考真题+24年最新模拟）-2024年冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

考前回顾04　数列（知识清单+易错分析+23年高考真题+24年最新模拟） 知识清单 1．牢记概念与公式 等差数列、等比数列(其中n∈N*) 等差数列 等比数列 通项公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1(q≠0) 前n项和公式 Sn＝＝na1＋d ①q≠1，Sn＝＝； ②q＝1，Sn＝na1 2.活用定理与结论 (1)等差、等比数列{an}的常用性质 等差数列 等比数列 性质 ①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq； ②an＝am＋(n－m)d； ③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列 ①若m，n，s，t∈N*，且m＋n＝s＋t，则am·an＝as·at； ②an＝am·qn－m； ③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(Sm≠0) (2)判断等差数列的常用方法 ①定义法 an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列； ②通项公式法 an＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列； ③中项公式法 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列； ④前n项和公式法 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列． (3)判断等比数列的常用方法 ①定义法 ＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列； ②通项公式法 an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列； ③中项公式法 a＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列． 3．数列求和的常用方法 (1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和． (2)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cn＝an＋bn形式的数列求和问题的方法，其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列． (3)通项公式形如an＝(其中a，b1，b2，c为常数)用裂项相消法求和． 裂项相消法常见形式： ＝－， ＝， ＝， ＝－. (4)形如{an·bn}的数列(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)，利用错位相减法求和． (5)通项公式形如an＝(－1)n·n，an＝a·(－1)n或an＝(－1)n(2n＋1)(其中a为常数，n∈N*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法．并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论． 易错提醒 1．已知数列的前n项和求an，易忽视n＝1的情形，直接用Sn－Sn－1表示．作答时，应验证a1是否满足an＝Sn－Sn－1，若是，则an＝Sn－Sn－1；否则，an＝ 2．易混淆几何平均数与等比中项，正数a，b的等比中项是±. 3．易忽视等比数列中公比q≠0导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解． 4．运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q＝1和q≠1两种情况进行讨论． 5．利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项． 易错分析 易错点1 忽视公式的适用条件而导致错误 1. [河北 2023 适应考]已知数列的前项和为 ，且，，则（ ） 特别提醒：本题易忽视公式的适用条件而导致错误.利用此公式求得后，一定要验证时是否满足所求出的，若不满足，则要用分段形式来表示. 【解析】 令，可得，解得. ①， ②， 由①-②可得 【答案】 易错点2 混淆等差数列单调性与最值的关系致误 2.[湖南株洲2023联考]等差数列是递增数列，公差为，前项和为，满足，则下列说法正确的是（ ） 特别提醒：（1）若公差，则是递增数列，有最小值， 此时若，则的最小值为，若，使成立的的最大正整数为，则的最小值为，若恰有，则的最小值为和 （2）若公差，则是常数列.此时若，则的最小值为；若，则的最大值为. （3）若公差，则是递减数列，有最大值， 此时若，使成立的最大正整数为，则的最大值为，若恰有，则的最大值为和；若，则的最大值为. 【解析】对于，由，得，即（关键：根据条件得到首项和公差之间的关系，由此可消去首项，只需借助的范围进行讨论即可）由于是递增数列，所以，故错误；对于， ，由于，故当，且时，当时，，当，时，因此当或时，最小，故错误，对于，令，由于，故解得，且，故当时，的最小值为8，故正确. 【答案】 易错点3 未对的奇偶性进行讨论而致误. 3.[江西上饶2023一模]在数列中，，.，记数列的前项和为，则 . 特别提醒：（1）由，易得数列的符号规律为因此在求数列通项时需对的奇偶性分类讨论； （2）的通项公式应为，因此求和时也要对的奇偶性进行分类讨论. 【解析】因为 所以，所以. 在中，令，则 所以，则该数列奇数项是以为首项，公