专题01 数与式、方程与不等式（7题型）-2024年中考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（上海专用）

专题01 数与式、方程与不等式 目录 热点题型归纳 1 题型01 实数的运算 1 题型02 二次根式的性质与化简 3 题型03 根的判别式 5 题型04 一元二次方程的应用 9 题型05 二元二次方程组 12 题型06 换元法解分式方程 18 题型07 解一元一次不等式组 20 中考练场 23 题型01 实数的运算 【解题策略】 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 【典例分析】 【例】（2023•嘉定区一模）计算：． 【变式演练】 1．（2023•宝山区一模）计算：． 2．（2023•青浦区一模）计算：． 3． （2023•浦东新区模拟）计算：． 题型02 二次根式的性质与化简 【解题策略】 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝（a≥0，b≥0），（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 【典例分析】 【例】．（2023•杨浦区二模）下列正确的是　　 A． B． C． D． 【变式演练】 1．（2023•虹口区二模）　　 ． 2．（2023•静安区校级一模）计算：． 题型03 根的判别式 【解题策略】 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 【典例分析】 【例】．（2023•浦东新区二模）一元二次方程的根的情况是　　 A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【变式演练】 1．（2023•嘉定区二模）下列关于的方程一定有实数解的是　　 A． B． C．为常数） D．为常数） 2．（2023•普陀区二模）如果关于的方程有两个相等的实数根，那么实数　　． 3．（2023•黄浦区二模）已知关于的方程无实数根，那么的取值范围是 　　． 4．（2023•长宁区二模）如果关于的方程有实数根，那么实数的取值范围是 　 　． 5．（2023•静安区二模）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围为 　　． 6．（2023•浦东新区校级模拟）一元二次方程根的情况是 　 　． 题型04 一元二次方程的应用 【解题策略】 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．