5.1.2第2课时导数的几何意义教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

课题名称 5.1.2 第2课时　导数的几何意义 课时计划： 1 课时 第 1 课时 授课日期： 教学目标 1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会计算简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程． 重点难点 会求简单函数的导函数；根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程． 教学方法 教师讲授、师生互动、学生主导 科组模式 板书设计 作业布置 课后反思 教 学 过 程 设 计 教学环节 教师活动(可附带学生活动) 【导入新课】 问题1 同学们，我们上两节课学习了什么内容了呢？学习它们有何意义呢？ 提示：瞬时变化率、切线的斜率计算、函数在某点处的导数计算 （设计意图：课前引导同学们回顾前面课程内容，一是引发同学们思考前面所学内容，激发学习兴趣和动力，二是复习巩固前面学习内容，加深对瞬时变化率、切线斜率和导数计算的印象，三是吸引同学们注意力，让他们尽快进入上课状态。） 【讲授新课】 一、导数的几何意义 问题2　同学们，我们为什么要学习导数呢？导数f′(x0)的在数学中的几何意义是什么呢？ 提示　导数f′(x0)表示函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，反映了函数y＝f(x)在x＝x0附近的变化情况，如下图． 容易发现，平均变化率＝表示的是割线P0P的斜率，当P点沿着曲线无限趋近于P0点时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线，因此函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝ ＝f′(x0)，这就是导数的几何意义． （设计意图：引导学生积极去思考数学问题，引导学生观察和认识图像变化所产生的结果，引出导数的几何意义，从而提高同学们对高中数学的兴趣和探究能力。） 知识梳理 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 例1　已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过点的切线方程. 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，利用点斜式即可得到切线方程； （2）设过点的切线与曲线相切于点，然后根据曲线在点处切线的切线方程，求出切点坐标，从而可求出结果． 【详解】（1）由题意得，则在点处的切线的斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）设曲线与过点的切线相切于点， 设切线的斜率为，则由点斜式得直线方程为，又因为切点为， 则，解得或， 则曲线过点处的切线方程为和. （设计意图：通过这个例子，引导学生们区分“在型”切线与“过型”切线的异同点，从而进一步理解导数的几何意义，提高同学们对数学的求知欲和探索兴趣。） 方法总结　求曲线过某点的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程． 跟踪训练1　求抛物线f(x)＝x2－x在点(2，2)处的切线方程. 【答案】3x－y－4＝0. 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率即可求解. 【详解】因为＝3＋Δx 所以切线的斜率k＝＝ (3＋Δx)＝3. 则切线方程为y－2＝3(x－2)，即3x－y－4＝0 二、利用导数的几何意义判断函数的变化 问题3　同学们，我们是用什么来研究函数变化趋势的呢？函数的这一性质和导数有什么关系？ 提示 我们是用函数单调性来研究函数的变化趋势的。通过研究发现，函数单调性与导数的符号有关系。 问题4 同学们，那我们进一步研究发现，函数的变化有快有慢，那能否由导数来刻画这一性质呢？导数与函数变化的快慢有什么关系？ 提示　可以用导数值的大小来刻画函数的变化快慢。它们的关系如图， 当t＝t0时，函数的图象在t＝t0处的切线l0平行于t轴，即h′(t0)＝0，这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降． 当t＝t1时，函数的图象在t＝t1处的切线l1的斜率h′(t1)<0，这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数在t＝t1附近单调递减． 当t＝t2时，函数的图象在t＝t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0，这时，在t＝t2附近曲线下降，即函数在t＝t2附近单调递减． 通过研究在t＝t1和t＝t2处的切线l1和l2，发现切线l1的倾斜程度小于切线l2的倾斜程度，这说明函数在t＝t1附近比在t＝t2附近下降得缓慢． 知识梳理 若f′(x0)＝0，则函数在x＝x0处切线斜率k＝0； 若f′(x0)>0，则函数在x＝x0处切线斜率k>