5.2.3简单复合函数的导数教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

教学设计 课题名称 5.2.3　简单复合函数的导数 课时计划： 课时 第 课时 授课日期： 教学目标 1.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则． 重点难点 熟悉导数公式和导数运算法则，掌握复合函数的求导法则。 教学方法 教师讲授、师生互动、学生主导 科组模式 板书设计 作业布置 课后反思 教 学 过 程 设 计 教学环节 教师活动(可附带学生活动) 【导入新课】 问题1 同学们，我们现在有两个函数f（x）和g（x），那么我们该如何得到f(g(x))函数呢？这个函数叫什么函数呢？ 学生 引发思考，对复合函数有个初步认识 （设计意图：引发同学们思考，吸引同学们的注意力，同时，提高他们对数学的探究兴趣。） 【讲授新课】 一、复合函数的概念 问题2　同学们，你们有谁知道函数y＝sin(2x－1)是如何构成的呢？ 提示　y＝sin(2x－1)，其中的2x－1“占据”了正弦函数y＝sin x中x的位置，f(x)＝sin x，而f(2x－1)＝sin(2x－1)，这里有代入、代换的思想，则函数y＝sin(2x－1)是由内层函数为幂函数的线性组合和外层函数为正弦函数复合而成，是复合函数，而函数y＝(2x－1)sin x不是复合函数，它只是两个函数相乘的关系，没有代入、代换的意思． 知识梳理 复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． 注意点：内、外层函数通常为基本初等函数． 例1　(多选)下列哪些函数是复合函数（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】 根据复合函数的定义判断即可. 【详解】根据复合函数的定义可知选项A不是复合函数，BCD都是复合函数. 故选：BCD. （设计意图：通过本例，让同学们对复合函数的概念有个初步认识，提高对复合函数概念的理解） 方法总结　若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f(g(x))或函数y＝g(f(x))均为复合函数． 跟踪训练1　(多选)下列所给函数为复合函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】 根据题意，结合复合函数的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】 对于A中，函数是由函数和符合而成，所以A符合题意； 对于B中，函数，不符合复合函数的定义，所以B不符合题意； 对于C中，函数，不符合复合函数的定义，所以C不符合题意； 对于D中，函数是由函数和符合而成，所以D符合题意. 故选：AD. 二、复合函数的导数 问题3　同学们，我们知道了复合函数的概念后，那又该如何求函数y＝sin 2x的导数？ 提示　y＝sin 2x＝2sin xcos x，由两个函数相乘的求导法则可知：y′x＝2cos2x－2sin2x＝ 2cos 2x；从整体上来看，外层函数是基本初等函数y＝sin u，它的导数y′u＝cos u，内层函数是幂函数的线性组合u＝2x，它的导数是u′x＝2，发现y′x＝y′u·u′x. 知识梳理 复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 注意点：(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导． 例2　写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）根据复合函数的求导法则求解； （2）根据复合函数的求导法则求解； （3）根据复合函数的求导法则求解； （4）根据复合函数的求导法则求解． 【详解】（1）令，因为， ；. （2）令，因为， ； （3）令，因为， ； （4）令，因为， ． （设计意图：认识和理解复合函数的求导法则，引导学生们如何进行相应计算） 方法总结　(1)求复合函数的导数的步骤 (2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁． 跟踪训练2　指出下列函数的复合关系． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)，， (3)， (4)，， 【分析】根据复合函数定义直接求解； 【详解】（1）对于， 可分解为，. （2）对于， 可分解为，，. （3）对于， 可分解为