5.2.2导数的四则运算法则教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

教学设计 课题名称 5.2.2　导数的四则运算法则 课时计划： 课时 第 课时 授课日期： 教学目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． 重点难点 理解函数的和差积商的求导法则，并能利用法则求解相关导函数。 教学方法 教师讲授、师生互动、学生主导 科组模式 板书设计 作业布置 课后反思 教 学 过 程 设 计 教学环节 教师活动(可附带学生活动) 【导入新课】 问题1 同学们，上节课我们学习了基本初等函数的导数，知道了基本初等函数的导函数公式， 那么对于函数的加减乘除运算组合的导数又该如何求解呢？ 学生 引发思考 （设计意图：） 【讲授新课】 一、f(x)±g(x)的导数 问题2　设f(x)＝x2，g(x)＝x，计算[f(x)＋g(x)]′与[f(x)－g(x)]′，它们与f′(x)和g′(x)有什么关系？ 学生 积极思考，动手计算，强化对导数公式的认识。 知识梳理 两个函数和或差的导数：[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． 注意点：推广[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x)． 例1　求下列函数的导数： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】根据求导公式和导数的运算法则计算即可. 【详解】（1）. （2）. （设计意图：通过本例，引导学生们如何运用导函数运算法则，熟悉函数和差的导数运算法则。） 方法总结　两个函数和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，对于每一项分别利用导数的运算法则即可． 跟踪训练1　求下列函数的导数： (1)； (2)． 【答案】 （1）. （2）. 二、f(x)g(x)和的导数 问题2　设f(x)＝x3，g(x)＝x，计算[f(x)g(x)]′与f′(x)g′(x)，它们是否相等？′与是否相等？ 提示　因为[f(x)g(x)]′＝(x4)′＝4x3， f′(x)g′(x)＝3x2·1＝3x2， ′＝(x2)′＝2x， ＝＝3x2， 所以[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)， ′≠. 知识梳理 1．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)． 2.′＝(g(x)≠0)． 注意点：对于(logax)′＝，我们可以先换底再求导：(logax)′＝′＝·(ln x)′＝. 例2　求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】根据导数的运算法则求解即可. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4），. （5）. （6）. （7）. （8）. （设计意图：引导学生如何运用函数乘除运算的导数法则，熟悉相应公式，同时强化计算训练） 方法总结　利用导数运算法则的策略 (1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式． (2)如果求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等． (3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导． 跟踪训练2　求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用倍角公式，基本函数的导数公式和导数的四则运算法则求解； （2）（3）（4）利用基本函数的导数公式和导数的四则运算法则求解． 【详解】（1）. （2）. （3）. （4） . 三、导数四则运算法则的应用 例3　(1)日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知1 t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c＝.那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是(　　) A．－40元/t B．－10元/t C．10元/t D．40元/t 答案　D 解析　净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数， 因为c(x)＝(80<x<100)． 所以c′(x)＝′＝， 又因为c′(90)＝＝40， 所以净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是40元/t. (2)点M是曲线上的动点，则点M到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的几何意义及点到直线的距离计算即可. 【详解】因为， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 由，所以，