5.1.2第1课时导数的概念教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

教学设计 课题名称 5.1.2 第1课时导数的概念 课时计划： 1 课时 第 1 课时 授课日期： 教学目标 1.了解导数概念的实际背景.2.知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想． 重点难点 导数是瞬时变化率的数学表达 教学方法 教师讲授、师生互动、学生主导 科组模式 板书设计 作业布置 课后反思 教 学 过 程 设 计 教学环节 教师活动(可附带学生活动) 【导入新课】 同学们，通过之前的学习，我们对平均速度和瞬时速度有了一定的认识，并与几何中的割线斜率和切线斜率进行了对应关系，我们采用了由“平均变化率”无限逼近“瞬时变化率”的思想方法，在生活中也是经常见到此类现象，比如大家在红绿灯路口处的闪拍，这个也是无限逼近的思想，今天我们继续用此方法研究更一般的问题． （设计意图：帮助同学们回顾上节课知识点，引导学生快速进入上课状态，同时，明确本节课的教学内容和目标。） 【讲授新课】 一、导数的概念 问题1　同学们，有谁知道瞬时变化率的几何意义是什么吗？它在数学上的意义又是什么呢？ 提示　瞬时变化率的几何意义是曲线的切线斜率．事实上，上节课一起研究的究抛物线的切线斜率就了解其在数学中的意义． 知识梳理 1．平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 2．导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝. 注意点：(1)曲线切线的斜率即函数y＝f(x)在x＝x0处的导数；(2)瞬时变化率、曲线切线的斜率、函数在该点的导数，三者等价． 例1　已知函数y＝f(x)＝3x2＋2. (1)求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率； (2)求函数f(x)在区间[1,1.01]上的平均变化率； (3)求函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率． 解　(1)∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝3(x0＋Δx)2＋2－3x－2＝3Δx(2x0＋Δx)， ∴函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝＝6x0＋2Δx. (2)由(1)可知＝6x0＋2Δx， 当x0＝1，Δx＝0.01时， ＝6×1＋2×0.01＝6.02， 即函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率为6.02. (3)Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝3(2＋Δx)2＋1－(2×22＋1)＝3(Δx)2＋12Δx. ∴＝3Δx＋12. 故函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率为 ＝(3Δx＋12)＝12. （设计意图：让学生了解瞬时变化率和平均变化率的区别与练习，引导学生如何计算在某一处的瞬时变化率。） 方法总结　求瞬时变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)． (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1. (3)得平均变化率＝. (4)得瞬时变化率. 跟踪训练1　已知函数 (1)写出； (2)求出； (3)求出； (4)写出，， 【详解】（1） ； （2）； （3）； （4）由（2）知， 则，. 二、导数定义的应用 例2　利用导数的定义求函数在处的导数． 【详解】由， 则， 则， 所以． （设计意图：让学生了解如何利用导数定义去解决某一处的导数，体验极限思想的导数应用，引导学生如何进行相关计算以及应注意的细节问题，提高同学们对数学的研究兴趣。） 方法总结　用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)． (2)求平均变化率＝. (3)求极限 . 跟踪训练2　(1)f(x)＝3x2-2x在x＝2处的导数为(　　) A．10x B．10 C．10＋6Δx D．1 答案　B 解析　 ＝ ＝ (10＋6Δx)＝10. (2)已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于(　　) A．－4 B．2 C．－2 D．±2 答案　D 解析　因为＝ ＝＝， 所以f′(m)＝ ＝－， 所以－＝－，m2＝4，解得m＝±2. 三、导数在实际问题中的意义 例3　某厂生产一种机器，已知总利润c(单位：万元)与产量x(单位：千台)之间的关系式为c(x)＝－3x2＋9x＋1.求c′(3)与c′(4)，并说明它们的实际意义． 解　 （设计意图：通过演算导数在实际问题的应用，理解导数在实际问题中的意义，加深同学们对导