5.1.1变化率问题同步课堂教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

教学设计 课题名称 5.1.1　变化率问题 课时计划： 1 课时 第 1 课时 授课日期： 教学目标 1.通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程. 2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系.3.体会极限思想． 重点难点 理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系 教学方法 教师讲授、师生互动、学生主导 科组模式 板书设计 作业布置 课后反思 教 学 过 程 设 计 教学环节 教师活动(可附带学生活动) 【导入新课】 我们经常在高速路上“区间测速”的提醒，是为了提醒司机安全驾驶，它是通过测算在一定的路程上所花的时间来测量速度的；大家在生活中也会听到人们讨论车辆油耗的问题：你的车要用多少油？这里所说的多少油其实就是汽车百公里消耗的油量，而有些车是可以查看汽车的某段时间甚至是瞬间的油耗，今天我们就来研究这变化率问题吧． （设计意图：通过举生活中的例子，比如平均速度，平均油耗等，引出变化率的概念，吸引同学们的注意力和探究兴趣） 【讲授新课】 一、平均速度 问题1 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 (单位：)与起跳后的时间 (单位：)之间的函数关系式为.你可以求该运动员在下列情况的平均速度吗? (1)在第一个内的平均速度； (2)在这段时间内的平均速度. 【答案】(1) (2) 【分析】根据平均速度的求法求得平均速度. 【详解】（1）运动员在第一个内的平均速度即高度在区间上的平均变化率， 即， 故运动员在第一个内的平均速度为. （2）运动员在这段时间内的平均速度即高度在区间上的平均变化率， 即， 故运动员在这段时间内的平均速度为. （设计意图：平均速度可以是正数，也可以是负数，甚至可以是0，说明平均速度并不能精确描述运动员的运动状态。通过举例来加深同学们对平均速度的理解和认识） 【题型探索】 例1 已知某物体运动的位移s是时间t的函数，且. (1)求这个物体t从3秒到3.1秒的平均速度； (2)求这个物体t从3秒到3.01秒的平均速度. 【详解】（1） 当 时，， ∵， ∴. （2） 当时，， ∵， ∴. （设计意图：引导学生如何求解一段时间内的平均速度，加深对平均速度的认识和理解，同时对平均变化率能有个初步认识。） 跟踪训练1 某质点沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该质点在这段时间内的平均速度为（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意知位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为， 则该质点在这段时间内的平均速度为（）， 故选：B 二、瞬时速度 问题2　我们知道平均速度不能精确地实时描述运动状态，司机在高速路如果发现超速了，他只需踩下刹车，让车辆低速行驶一段时间即可避免区间测速的超速现象，你认为，我们应该如何改进这一个区间测速问题？ 提示　根据平均速度定义，＝，无论是在短路程里测算速度还是在较少时间内测算速度，似乎都无法避免这个问题，但是如果能测量汽车的瞬时速度就可以很好地避免这一问题． 于是，我们把函数值的增量f(t2)－f(t1)记为Δy，即Δy＝f(t2)－f(t1)，自变量的增量t2－t1记为Δt，即Δt＝t2－t1，这里的Δt可以看成是t1的一个增量，可用t1＋Δt来表示t2，则平均则平均速度可记为＝＝，如果时间的增量Δt无限小，此时在极短的时间内的平均速度就可近似等于在时间t＝t1的瞬时速度，这就需要用到我们数学中的“极限”思想，意思就是让Δt无限趋近于0. （设计意图：引导学生思考平均速度的意义及如何精确描述物体运动状态，让学生理解和辨析平均速度与瞬时速度的区别与练习，从而引出“极限”的概念，让学生们体验“极限”思想。） 知识梳理 1．瞬时速度：物体在某一时刻或某一位置的速度称为瞬时速度． 2．瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度． 3．瞬时速度的计算：设物体运动的时间与位移的函数关系式为y＝h(t)，则物体在t0时刻的瞬时速度为. 注意点：Δt可正，可负，但不能为0. 例2　一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度（单位：）为，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义． 【详解】解：在第2s和第6s时，汽车的瞬时加速度就是和． 根据导数的定义， ， 所以． 同理可得． 在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别是与． 说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加； 在第6s附近，汽车的速度每秒大约减少． （设计意图：让学生理解瞬时速度的计算方式，同时，让学生们直观感受“极限”思想在数学中的应用，激发学生们对数学的学习兴趣。） 延伸探究　 1．若本例中的条件不变，试求物体的初速度． 解　 2．若