专题5.6 解题技巧专题：矩形、菱形、正方形中新定义型探究问题之三大考点-【学霸满分】2023-2024学年八年级数学下册重难点专题提优训练（浙教版）

专题5.6 解题技巧专题：矩形、菱形、正方形中新定义型探究问题之三大考点 目录 【典型例题】 1 【考点一 与矩形有关的新定义型探究问题】 1 【考点二 与菱形有关的新定义型探究问题】 13 【考点三 与正方形有关的新定义型探究问题】 26 【典型例题】 【考点一 与矩形有关的新定义型探究问题】 例题：新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，若四边形是“等对角四边形”，，，，则的度数为______． (2)如图2，“等对角四边形”，已知：，，你认为成立吗？若成立，请你证明此结论，若不成立，请说明理由． (3)在“等对角四边形”中，，，，．求对角线的长． 【变式训练】 1．阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 完美四边形 定义：在平行四边形中，若有一条对角线的长是一边长的两倍，则这个平行四边形叫做“完美四边形”，其中这条对角线叫做完美对角线，这条边叫做完美边． 如图1、四边形是平行四边形．，是的中点，连接，并延长交的延长线于点，连接．求证：四边形是完美四边形．   证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴（依据1）， ∵是的中点， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形（依据2）． ， ， ∴四边形是完美四边形． 任务： (1)材料中的依据1是指 ；依据2是指 ． (2)如图2，在矩形中，，是否存在值，使得矩形是完美四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 2．定义：对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，则这样的四边形称为镶嵌四边形． (1)如图1，将纸片沿中位线折叠，使点落在边上的处，再将纸片分别沿，折叠，使点和点都与点重合，得到双层四边形，则双层四边形为______形． (2)纸片按图2的方式折叠，折成双层四边形为矩形，若，，求的长． (3)如图3，四边形纸片满足，，，，．把该纸片折叠，得到双层四边形为正方形．请你画出一种折叠的示意图，并直接写出此时的长． 3．问题背景 定义：若两个等腰三角形有公共底边，且两个顶角的和是，则称这两个三角形是关于这条底边的互补三角形．如图1，四边形中，是一条对角线，，且，则与是关于的互补三角形． (1)初步思考：如图2，在中，，D、E为外两点，，为等边三角形．则关于的互补三角形是______，并说明理由． (2)实践应用：如图3，在长方形中，．点E在边上，点F在边上，若与是关于互补三角形，试求的长． (3)思维探究：如图4，在长方形中，．点E是线段上的动点，点P是平面内一点，与是关于的互补三角形，直线与直线交于点F．在点E运动过程中，线段与线段的长度是否会相等？若相等，请直接写出的长；若不相等，请说明理由． 【考点二 与菱形有关的新定义型探究问题】 例题：定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩形”；有两组邻边（不重复）相等的四边形叫做“准菱形”． 知图①，在四边形中，若，则四边形是“准矩形”； 如图②，在四边形中，若，则四边形是“准菱形”． (1)如图，在边长为1的正方形网格中，在格点（小正方形的顶点）上，请分别在图③、图④中画出“准矩形”和“准菱形”（要求：在格点上）； (2)如图⑤，在中，，以为一边向外作“准菱形”，且交于点．若，求证：“准菱形”是菱形； (3)在（2）的条件和结论下，连接，若，请直接写出菱形的边长为__________． 【变式训练】 1．定义：角内部的一点到角两边的距离分别为，，将与的比值叫做点关于这个角的“距离比”，记作，其中：若“距离比”，则称点P为这个角的“平衡点”．    (1)下列四边形对角线的交点一定是这个四边形内角的“平衡点”的是________（填序号） ①平行四边形    ②矩形    ③菱形 (2)在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，对角线、相交于点，，，垂足分别为、． ①如图，点在第一象限，且坐标为，求点关于的“距离比”的值； ②若点为的“平衡点”，且点的纵坐标为，直接写出点的坐标． 2．定义：在三角形中，若有两条中线互相垂直，则称该三角形为中垂三角形．    (1)如图（a），是中垂三角形，分别是边上的中线，且于点，若，求证：是等腰三角形． (2)如图（b），在中垂三角形中，分别是边上的中线，且于点，求证：． (3)如图（c），四边形是菱形，对角线交于点，点分别是的中点，连接并延长，交于点．求证：是中垂三角形； 3．我们定义：以已知菱形的对角线为边且有一条边与已知菱形的一条边共线的新菱形称为已知菱形的伴随菱形．如图1.在菱形中，连接，在的延长线上取点使得，以为边作菱形，我们称菱形是菱形的“伴随菱形”．    (1)如图2，在菱形中，连接，在的延长线上作，作的平分线交的延长线于点，连接．求证：四边形为菱